Ordine!

Faccio i complimenti ai tanti giovani amici che ho incontrato a Milano nei giorni scorsi. Ci siamo proprio divertiti a risolvere i problemi proposti dal Centro PRISTEM! E qualcuno verrà con me a Parigi per la finalissima, ma prima ci saranno gli allenamenti sul Lago Maggiore… vi comunicherò tutto a tempo debito (oppure potete sbirciare sul mio sito).

Intanto io sto riguardando i testi e riprovando a risolvere, uno per uno, gli esercizi proposti in modo da fissare in mente i meccanismi che mi hanno portato a trovare la soluzione. Così come uno scalatore ripercorre più volte lo stesso tratto fino a che non avrà assimilato il passaggio che farà poi in pochi secondi e con poco spreco di forze.

Ho riletto il problema 11, Gli strani hobby di Renato, ricordate? Renato sta cercando i numeri divisibili per 18 che hanno come somma delle cifre 18 e compresi fra 198 e 2018.

Ecco, io cerco a questo punto, cioè alla partenza, di dare a me e al mio foglio, ancora bianco, ordine. Mi verrà sicuramente restituito ordine e in quell'ordine il numero da scrivere nel foglio risposte salterà fuori sicuramente!

Intanto poniamo i bastoncini dei limiti. Il numero deve essere quindi di tre o quattro cifre. Se è di 4 cifre, inizierà per 1 oppure per 2. Ma se inizia per 2, deve iniziare per 200 o 201, e non ce la facciamo a ottenere 18 come somma. Allora stringiamo i limiti: i numeri soluzione o sono di tre cifre o di quattro cifre che iniziano per 1 (quindi da 1000 e 1999).

Bene: i numeri sono divisibili per 18, quindi per 9 e per 2, e allora sono pari. Facciamo l’elenco delle ultime cifre: 0, 2, 4, 6, 8. Numeri di tre cifre che terminano con 0 e che hanno somma 18? C'è solo il 990; poi terminanti per 2, ce ne sono 3 (basta pensare che nelle prime due posizioni va un totale di 16, quindi 792 ecc.) e così via. Provate a scrivere l'elenco con i numeri separati a seconda dell'ultima cifra: un numero che termina per 0, tre terminano per 2, cinque terminano per 4, sette terminano per 6, nove terminano per 8. Ecco, ce ne sono 1, 3, 5, 7, 9: un elenco ordinato dei numeri dispari.

Se ora faccio il medesimo lavoro per i numeri di quattro cifre e inizianti per 1, avrò qualcosa di simile, ma non uguale; nei numeri del tipo 1XX0 devo inserire nelle due caselle centrali un totale di 17 (1890 e 1980, cioè due risultati). Cambiando ora la cifra finale otterrò (e fatelo prima di leggere il mio elenco) due numeri che terminano per 0, quattro che terminano per 2, sei che terminano per 4, otto che terminano per 6, dieci che terminano per 8. Ecco, ce ne sono 2, 4, 6, 8, 10: un elenco ordinato dei numeri pari.

Notate che ho usato parole simili nel conteggio dei numeri di tre e di quattro cifre. Ora, alternando i due elenchi, i numeri trovati sono stati 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 per un totale di 55… e questa è la risposta da scrivere sul nostro foglio!

Avete visto che bell'ordine ci ha restituito il nostro foglio ordinato?

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