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Es 15 finale ita 1997
- Alessandro Beverini
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15/06/2017 17:54 #117
da Alessandro Beverini
Risposta da Alessandro Beverini al topic Es 15 finale ita 1997
Ciao Gianluca,
ieri avevo visto che avevi inserito anche la soluzione trigonometrica di questo problema.
Sono molto interessato a leggerla, ma non riesco a trovare il messaggio in cui l'hai inserita.
Hai cancellato il messaggio contenente la soluzione trigo... ? Perché l'hai cancellato?
ieri avevo visto che avevi inserito anche la soluzione trigonometrica di questo problema.
Sono molto interessato a leggerla, ma non riesco a trovare il messaggio in cui l'hai inserita.
Hai cancellato il messaggio contenente la soluzione trigo... ? Perché l'hai cancellato?
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- Gianluca Mancuso
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15/06/2017 20:44 #118
da Gianluca Mancuso
Risposta da Gianluca Mancuso al topic Es 15 finale ita 1997
Perché avevo, appunto, grossi problemi a scrivere le formule col Latex e l'ho rimosso. Appena posso mi ci metto e lo riscrivo per benino!
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- Gianluca Mancuso
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19/06/2017 10:35 - 19/06/2017 10:38 #119
da Gianluca Mancuso
Risposta da Gianluca Mancuso al topic Es 15 finale ita 1997
Eccoci qua!
Ebbene, sornione sornione, entro a gamba tesa e anticipo Bramo pubblicando la soluzione trigo, che ritengo molto più elegante e rapida della mia. D'altronde, non è farina del mio sacco ma di quello di un signore molto più avanti di me nel campo!
Denominiamo alcuni punti del luogo geometrico come in figura:
L'angolo MNT è bisecato in due parti congruenti, che chiameremo β, dal segmento NO'. Anche l'angolo NMT è bisecato in due parti congruenti, che indichiamo ambedue con α , dal segmento O'M. Inoltre, l'angolo NMP, di 60 gradi, è bisecato in due parti congruenti dal segmento OM, essendo O il baricentro del triangolo NMP. Dunque, l'angolo AMO misura 30-2α. Dato che O è il baricentro del triangolo NMP, esso divide le altezze dello stesso in due parti, una il doppio dell'altra. Dunque, OM ha lunghezza pari a due terzi di tale altezza, la quale, a sua volta, è pari alla metà del lato moltiplicata per la radice quadrata di 3. Quindi:
Dato che OAM è un triangolo rettangolo con angolo con angolo retto in A, si può esprimere la lunghezza del cateto minore, che coincide con il raggio della circonferenza, come:
Osserviamo ora il triangolo NTM. Innanzitutto possiamo dire che l'angolo NTM è di 120°, perché supplementare a un angolo di 60°. Dunque, la somma degli angoli TNM e NMT è pari a 60°. Dunque:
2α+2β=60°
Da cui:
β=30°- α
Il segmento O'H, anch'esso pari al raggio della circonferenza, è cateto minore dei due triangoli rettangoli NHO' ed MHO'. Le relazioni trigonometriche fra i lati di un triangolo rettangolo ci portano a dire che:
NH= O'H cotg β = r * cotg β = r * cotg (30°-α)
HM=O'H cotg α = r * cotg α
Ma MH+HM=NM=8, quindi:
r[cotg α + cotg (30°-α)]=8
da cui, con alcuni passaggi, si arriva a:
Eguagliando tra loro i secondi membri della (1) e della (2) si forma un'equazione avente come incognita sin2α, che giunge ad avere la seguente forma:
64 sin4α-40sin2α+1=0
da cui si arriva a:
Se al posto del doppio segno ± mettessimo il segno +, arriveremmo ad avere per sinα un valore (è facile verificarlo) superiore al valore di sin(15°). Ma sapendo che l'angolo NMT è inferiore a 30°, e di conseguenza α è minore di 15°, questa ipotesi sarebbe inaccettabile, quindi al posto del doppio segno va necessariamente il segno -.
Di conseguenza si ricava il valore di sinα, quello di cosα in base al primo principio della trigonometria e, sostituendo tali valori nella (1), si arriva alla soluzione che, come detto, è pari a 914 m.
Ebbene, sornione sornione, entro a gamba tesa e anticipo Bramo pubblicando la soluzione trigo, che ritengo molto più elegante e rapida della mia. D'altronde, non è farina del mio sacco ma di quello di un signore molto più avanti di me nel campo!
Denominiamo alcuni punti del luogo geometrico come in figura:
L'angolo MNT è bisecato in due parti congruenti, che chiameremo β, dal segmento NO'. Anche l'angolo NMT è bisecato in due parti congruenti, che indichiamo ambedue con α , dal segmento O'M. Inoltre, l'angolo NMP, di 60 gradi, è bisecato in due parti congruenti dal segmento OM, essendo O il baricentro del triangolo NMP. Dunque, l'angolo AMO misura 30-2α. Dato che O è il baricentro del triangolo NMP, esso divide le altezze dello stesso in due parti, una il doppio dell'altra. Dunque, OM ha lunghezza pari a due terzi di tale altezza, la quale, a sua volta, è pari alla metà del lato moltiplicata per la radice quadrata di 3. Quindi:
Dato che OAM è un triangolo rettangolo con angolo con angolo retto in A, si può esprimere la lunghezza del cateto minore, che coincide con il raggio della circonferenza, come:
Osserviamo ora il triangolo NTM. Innanzitutto possiamo dire che l'angolo NTM è di 120°, perché supplementare a un angolo di 60°. Dunque, la somma degli angoli TNM e NMT è pari a 60°. Dunque:
2α+2β=60°
Da cui:
β=30°- α
Il segmento O'H, anch'esso pari al raggio della circonferenza, è cateto minore dei due triangoli rettangoli NHO' ed MHO'. Le relazioni trigonometriche fra i lati di un triangolo rettangolo ci portano a dire che:
NH= O'H cotg β = r * cotg β = r * cotg (30°-α)
HM=O'H cotg α = r * cotg α
Ma MH+HM=NM=8, quindi:
r[cotg α + cotg (30°-α)]=8
da cui, con alcuni passaggi, si arriva a:
Eguagliando tra loro i secondi membri della (1) e della (2) si forma un'equazione avente come incognita sin2α, che giunge ad avere la seguente forma:
64 sin4α-40sin2α+1=0
da cui si arriva a:
Se al posto del doppio segno ± mettessimo il segno +, arriveremmo ad avere per sinα un valore (è facile verificarlo) superiore al valore di sin(15°). Ma sapendo che l'angolo NMT è inferiore a 30°, e di conseguenza α è minore di 15°, questa ipotesi sarebbe inaccettabile, quindi al posto del doppio segno va necessariamente il segno -.
Di conseguenza si ricava il valore di sinα, quello di cosα in base al primo principio della trigonometria e, sostituendo tali valori nella (1), si arriva alla soluzione che, come detto, è pari a 914 m.
Ultima Modifica 19/06/2017 10:38 da Gianluca Mancuso.
Ringraziano per il messaggio: Alessandro Beverini
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19/06/2017 13:46 #120
da Alessandro Beverini
Risposta da Alessandro Beverini al topic Es 15 finale ita 1997
Grazie Gianluca,
solo che da quanto aveva detto Bramo mi aspettavo una soluzione più sintetica (2 righe solo secondo quanto detto da Bramo)
solo che da quanto aveva detto Bramo mi aspettavo una soluzione più sintetica (2 righe solo secondo quanto detto da Bramo)
bramo ha scritto: La soluzione che ho a disposizione è molto rapida (due righe), ma anche molto trigo, per cui aspetto a postarla.
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- Gianluca Mancuso
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20/06/2017 16:12 - 20/06/2017 16:13 #121
da Gianluca Mancuso
Risposta da Gianluca Mancuso al topic Es 15 finale ita 1997
La soluzione suggerita da Bramo parte dalle equazioni (1) e (2) della mia dissertazione. Quest'ultima, però, invece che essere utilizzata per uguagliarne il secondo membro a quello della (1), attraverso alcuni procedimenti algebrici e trigonometrici diventa:
Da quest'ultima equazione possiamo esplicitare cos(30°-2α); dalla (1), invece, possiamo esplicitare sin(30°-2α). Inserendo le relative espressioni all'interno del primo principio della trigonometria otteniamo la seguente equazione:
Si tratta di un'equazione di secondo grado in r che, in forma canonica, recita così:
Essa ammette come unica soluzione positiva:
E il gioco è fatto!!!
Da quest'ultima equazione possiamo esplicitare cos(30°-2α); dalla (1), invece, possiamo esplicitare sin(30°-2α). Inserendo le relative espressioni all'interno del primo principio della trigonometria otteniamo la seguente equazione:
Si tratta di un'equazione di secondo grado in r che, in forma canonica, recita così:
Essa ammette come unica soluzione positiva:
E il gioco è fatto!!!
Ultima Modifica 20/06/2017 16:13 da Gianluca Mancuso.
Ringraziano per il messaggio: Alessandro Beverini
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06/07/2017 00:30 #140
da Gabri
Risposta da Gabri al topic Es 15 finale ita 1997
riguardo al suggerimento raggio= 2 A/perimetro il mio consiglio è di diffidare in generale di relazioni come questa, che coinvolgono quantità al quadrato (l'area), perché inevitabilmente innalzano il grado dell'equazione risolvente
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