Es 15 finale ita 1997

Sii paziente, Alessandro, ci sto lavorando! A breve pubblicherò.

E io credo infatti che la soluzione passi per quella proprietà.
L'area del triangolo equilatero grande equivale alla somma dei tre triangoli esterni più il triangolo equilatero piccolo centrale. E tutti questi triangoli hanno una circonferenza inscritta, con raggio equivalente.
Pertanto è possibile ridurre il problema ad una espressione che riguarda i soli perimetri di questi triangoli ed in particolare al lato del triangolo grande, al lato del triangolo piccolo e al lato corto dei trangoli esterni.

Sto provando a completare la soluzione senza ricorrere a trigonometria o assi cartesiani.

Ok, eccoci qua!
Premetto che, a causa delle forti restrizioni di questo forum riguardo gli allegati, alcune delle formule man mano ottenute verranno inserite in un'immagine in calce a questo post e identificate con un numero progressivo col quale le richiameremo.
Innanzitutto diamo un nome ad alcuni punti del nostro luogo geometrico come nell'immagine che segue:



E' dimostrabile, oltre che abbastanza evidente, che i tre triangoli ADC, BEA e CFB sono congruenti tra loro. Inoltre, il triangolo DEF è un triangolo regolare, da cui peraltro consegue che gli angoli ADC, BEA e CFB sono di 120°. Ciò detto, possiamo indicare con x la misura (espressa in chilometri) dei segmenti AD, BE e CF, e con y la misura dei segmenti AE, BF e CD. Applicando il teorema di Carnot ai tre triangoli esterni otteniamo:

x²+y²+xy=64

Da cui:

xy=64-x²-y² (*)

Sappiamo che una circonferenza inscritta in un triangolo ha raggio pari al rapporto fra l'area ed il semiperimetro del triangolo stesso. Detto r il raggio delle nostre quattro circonferenze, trasponendo in formule quest'informazione sia per i triangoli esterni che per quello regolare interno otteniamo rispettivamente le equazioni (1) e (2). In entrambi i casi, l'area del triangolo è stata calcolata come la metà del prodotto di due lati adiacenti moltiplicato per il seno dell'angolo tra essi compreso. Nel caso della (1), l'area è data da ½xy*sen120°, nel caso della (2) l'area è data da ½(y-x)²*sin60°.
Eguagliando tra loro i secondi membri di queste due equazioni, si ottiene, dopo qualche semplice passaggio algebrico, la seguente equazione:

8y-8x+y²-x²=3xy (**)

Sostituendo xy come previsto dalla (*), si perviene, dopo alcuni passaggi algebrici, alla seguente equazione:

x²-4x+(2y²+4y-96)=0 (***)

Trattando questa come un'equazione di secondo grado in x, si perviene all'uguaglianza (3). Sostituendo nella (*) l'incognita x con l'espressione a secondo membro di tale uguaglianza, otteniamo dopo alcuni passaggi algebrici l'equazione (4). Se eleviamo al quadrato entrambi i membri di tale equazione, sparirà il doppio segno del primo membro, e si otterrà, dopo alcuni passaggi algebrici, la seguente equazione:

3y⁴+24y³-112y²-896y=0

Da cui:

y(3y³+24y²-112y-896)=0

Tralasciando la soluzione, geometricamente inaccettabile, y=0, ci riconduciamo così allo studio di un'equazione di terzo grado. Si potrebbe scomodare il buon vecchio Cardano, ma in questo caso è facile osservare che, procedendo per raccoglimento parziale, si ha che:

3y³+24y²-112y-896=(y+8 )(3y²-112)

Le soluzioni negative sono da scartare, quindi l'unica soluzione accettabile è quella indicata dalla (5).
Sostituendo questo valore all'interno dell'equazione (*), si ottiene un'equazione di secondo grado in x che, riportata in forma canonica, assume la forma (6). L'unica soluzione positiva di tale equazione è data dalla (7).
Introducendo nella (2) i valori trovati per x e y, si ottiene che la misura del raggio r in chilometri è data dalla (8 ). Approssimando i radicali come indicato nel testo del quesito, si ottiene r=0,914 km, che, convertito in metri, dà 914. E 914 è proprio la risposta al quesito!

rmontaruli ha scritto: E io credo infatti che la soluzione passi per quella proprietà.
L'area del triangolo equilatero grande equivale alla somma dei tre triangoli esterni più il triangolo equilatero piccolo centrale. E tutti questi triangoli hanno una circonferenza inscritta, con raggio equivalente. Pertanto è possibile ridurre il problema ad una espressione che riguarda i soli perimetri di questi triangoli ed in particolare al lato del triangolo grande, al lato del triangolo piccolo e al lato corto dei triangoli esterni.

Rmontaruli, secondo me con quel procedimento non sbarchi da nessuna parte. Eguagliando l'area del triangolo grande con la somma dei quattro triangoli in cui è suddiviso ti trovi soltanto un'equazione contenente tre incognite, il raggio cercato, il lato del triangolo regolare piccolo e il lato minore dei tre triangoli esterni.

Ti ringrazio moltissimo Gianluca,

io nel risolvere questo esercizio mi ero fermato di fronte all'equazione di terzo grado.
(...e per giungere ad un risultato avevo provato a cercare a tentativi un valore approssimato della soluzione)
Mi ha aiutato molto leggere il modo in cui l'hai risolto che trovo molto istruttivo e molto chiaro.

Ora spero di leggere qualche altra soluzione alternativa, per vedere qualche altro modo di affrontare questo problema.
Grazie mille!!!