Le suddivisioni del cerchio

Il risultato dovrebbe essere

[Nota del Moderatore: oops, cercando di approvare il messaggio, ho accidentalmente cancellato il numero; pazienza, tanto nel prossimo messaggio c'è la spiegazione]

Ora spiego perché la risposta dovrebbe essere [ orpo ]... (inizierò assumendo che il numero di punti sia n) (Mi è stato detto che ho usato troppe immagini quindi userò n scelta k, qualche volta, per indicare il coefficiente binomiale)

Consideriamo il nostro cerchio come un grafo; inoltre, grazie alla caratteristica di Eulero ( V-S+F = 2) posso, sapendo Spigoli [lati] e Vertici [intersezioni],. calcolare il numero di Facce [regioni]... quindi...

Ogni insieme di quattro punti sul cerchio crea un solo punto all'interno, perciò ci sono "n scelta 4" vertici all'interno più n sul bordo. Per un totale di " (n scelta 4) + n".

I lati sono più complicati perché le corde sono semplicemente" n scelta 2 " ma intersecandosi si dividono; e bisogna poi aggiungere gli archi.
Può essere d'aiuto il fatto che n lati che si intersecano in m punti si dividono in n+2m lati.
I punti di incontro sono quelli interni al cerchio individuati prima: " n scelta 4 "
Quindi sommando le corde divise in "sottocorde" e gli archi si ottengono lati.

Quindi se V - S + F =2 allora F = 2 + S - V sostituisco i valori trovati in precedenza e semplifico





Però così conto anche la regione esterna che devo togliere quindi:



Che per n = 8 vale



[Nota del Moderatore: intuisco, ma non vedo, le formule: stavolta non ho fatto nulla...]

Dal mio PC vedo ogni formula perfettamente, ma effettivamente dal Cell no... (temo vi sia un problema simile per un altro post)
Sto imparando a usare LaTeX ma non ho capito come dire al sito che una parte di testo è latex, e ho rimediato con immagini; ora riscriverò il messaggio con il testo

Ora spiego perché la risposta dovrebbe essere 99 (lo cancelli pure un'altra volta)... (inizierò assumendo che il numero di punti sia n)

Consideriamo il nostro cerchio come un grafo; inoltre, grazie alla caratteristica di Eulero ( V-S+F = 2) posso, sapendo Spigoli [lati] e Vertici [intersezioni],. calcolare il numero di Facce [regioni]... quindi...

Ogni insieme di quattro punti sul cerchio crea un solo punto all'interno, perciò ci sono "n scelta 4" vertici all'interno più n sul bordo. Per un totale di " (n scelta 4) + n".

I lati sono più complicati perché le corde sono semplicemente" n scelta 2 " ma intersecandosi si dividono; e bisogna poi aggiungere gli archi.
Può essere d'aiuto il fatto che n lati che si intersecano in m punti si dividono in n+2m lati.
I punti di incontro sono quelli interni al cerchio individuati prima: " n scelta 4 "
Quindi sommando le corde divise in "sottocorde" e gli archi si ottengono

"(n scelta 2) + 2(n scelta 4) + n" lati.

Quindi se V - S + F =2 allora F = 2 + S - V sostituisco i valori trovati in precedenza e semplifico

2+(n scelta 2) + 2(n scelta 4) + n - n - (n scelta 4)

2+(n scelta 2) + (n scelta 4)

Però così conto anche la regione esterna che devo togliere quindi:

1+(n scelta 2) + (n scelta 4)

Che per n = 8 vale

1+(8 scelta 2) + (8 scelta 4) =99

QED
[nota del moderatore: il numero del risultato non è mai stato cancellato, era solo scritto in bianco su fondo bianco; ora (23/3/19h11,49) ho ripristinato il colore naturale]

Ora spiego la correlazione con le potenze di 2, servendomi del triangolo di Pascal, in cui ogni numero è la somma dei due che gli sono sopra.
Si noti che la somma dei numeri di una riga è sempre 2^n dove n è il numero della riga.

2^0 -- 01
2^1 -- 01 01
2^2 -- 01 02 01
2^3 -- 01 03 03 01
2^4 -- 01 04 06 04 01
2^5 -- 01 05 10 10 05 01
2^6 -- 01 06 15 20 15 06 01
2^7 -- 01 07 21 35 35 21 07 01
2^8 -- 01 08 28 56 70 56 28 08 01

Nel suddetto triangolo posso trovare n scelta k nella seguente maniera scendo k righe e controllo la colonna n (es. 8 scelta 2)

2^0 -- 01
2^1 -- 01 01
2^2 -- 01 02 01
2^3 -- 01 03 03 01
2^4 -- 01 04 06 04 01
2^5 -- 01 05 10 10 05 01
2^6 -- 01 06 15 20 15 06 01
2^7 -- 01 07 21 35 35 21 07 01
2^8 -- 01 08 28 56 70 56 28 08 01

Si noti che per il problema di prima posso evidenziare sul triangolo i coefficienti binomiali (rosso) e i numeri che li generano sul triangolo (blu) (es. 1 + n scelta 2 + n scelta 4)

2^0 -- 01
2^1 -- 01 01
2^2 -- 01 02 01
2^3 -- 01 03 03 01
2^4 -- 01 04 06 04 01
2^5 -- 01 05 10 10 05 01
2^6 -- 01 06 15 20 15 06 01
2^7 -- 01 07 21 35 35 21 07 01
2^8 -- 01 08 28 56 70 56 28 08 01

Ma avendo evidenziato in blu l'intera linea è chiaro che in totale ho ottenuto una potenza di 2.
Però se considerassi n = 6, si evidenzia la prima differenza: non evidenzio un 1.

2^0 -- 01
2^1 -- 01 01
2^2 -- 01 02 01
2^3 -- 01 03 03 01
2^4 -- 01 04 06 04 01
2^5 -- 01 05 10 10 05 01
2^6 -- 01 06 15 20 15 06 01
2^7 -- 01 07 21 35 35 21 07 01
2^8 -- 01 08 28 56 70 56 28 08 01

In effetti copiando su word l'intero messaggio e riscrivendolo tutto in nero il risultato diventa visibile...