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Le suddivisioni del cerchio
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14/01/2019 16:21 #501
da BraMo
Le suddivisioni del cerchio è stato creato da BraMo
Scegliamo un certo numero di punti su una circonferenza e tracciamo tutte le corde che collegano ogni coppia di punti. I punti sono scelti in modo tale che in nessun punto si intersecano più di due corde.
Con 2 punti il cerchio viene suddiviso in 2 regioni. Con 3 punti in 4 regioni (un triangolo e tre settori circolari). Con 4 punti le regioni sono 8 (quattro interne al quadrilatero e quattro esterne) e con 5 punti sono 16.
In quante regioni viene suddiviso il cerchio se i punti sono 8?
Con 2 punti il cerchio viene suddiviso in 2 regioni. Con 3 punti in 4 regioni (un triangolo e tre settori circolari). Con 4 punti le regioni sono 8 (quattro interne al quadrilatero e quattro esterne) e con 5 punti sono 16.
In quante regioni viene suddiviso il cerchio se i punti sono 8?
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- Francesco V.
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14/01/2019 17:02 - 15/01/2019 01:13 #502
da Francesco V.
Risposta da Francesco V. al topic Le suddivisioni del cerchio
Il risultato dovrebbe essere
[Nota del Moderatore: oops, cercando di approvare il messaggio, ho accidentalmente cancellato il numero; pazienza, tanto nel prossimo messaggio c'è la spiegazione]
[Nota del Moderatore: oops, cercando di approvare il messaggio, ho accidentalmente cancellato il numero; pazienza, tanto nel prossimo messaggio c'è la spiegazione]
Ultima Modifica 15/01/2019 01:13 da devan.
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14/01/2019 17:37 - 15/01/2019 01:48 #503
da Francesco V.
Risposta da Francesco V. al topic Le suddivisioni del cerchio
Ora spiego perché la risposta dovrebbe essere [ orpo ]... (inizierò assumendo che il numero di punti sia n) (Mi è stato detto che ho usato troppe immagini quindi userò n scelta k, qualche volta, per indicare il coefficiente binomiale)
Consideriamo il nostro cerchio come un grafo; inoltre, grazie alla caratteristica di Eulero ( V-S+F = 2) posso, sapendo Spigoli [lati] e Vertici [intersezioni],. calcolare il numero di Facce [regioni]... quindi...
Ogni insieme di quattro punti sul cerchio crea un solo punto all'interno, perciò ci sono "n scelta 4" vertici all'interno più n sul bordo. Per un totale di " (n scelta 4) + n".
I lati sono più complicati perché le corde sono semplicemente" n scelta 2 " ma intersecandosi si dividono; e bisogna poi aggiungere gli archi.
Può essere d'aiuto il fatto che n lati che si intersecano in m punti si dividono in n+2m lati.
I punti di incontro sono quelli interni al cerchio individuati prima: " n scelta 4 "
Quindi sommando le corde divise in "sottocorde" e gli archi si ottengono lati.
Quindi se V - S + F =2 allora F = 2 + S - V sostituisco i valori trovati in precedenza e semplifico
Però così conto anche la regione esterna che devo togliere quindi:
Che per n = 8 vale
[Nota del Moderatore: intuisco, ma non vedo, le formule: stavolta non ho fatto nulla...]
Consideriamo il nostro cerchio come un grafo; inoltre, grazie alla caratteristica di Eulero ( V-S+F = 2) posso, sapendo Spigoli [lati] e Vertici [intersezioni],. calcolare il numero di Facce [regioni]... quindi...
Ogni insieme di quattro punti sul cerchio crea un solo punto all'interno, perciò ci sono "n scelta 4" vertici all'interno più n sul bordo. Per un totale di " (n scelta 4) + n".
I lati sono più complicati perché le corde sono semplicemente" n scelta 2 " ma intersecandosi si dividono; e bisogna poi aggiungere gli archi.
Può essere d'aiuto il fatto che n lati che si intersecano in m punti si dividono in n+2m lati.
I punti di incontro sono quelli interni al cerchio individuati prima: " n scelta 4 "
Quindi sommando le corde divise in "sottocorde" e gli archi si ottengono lati.
Quindi se V - S + F =2 allora F = 2 + S - V sostituisco i valori trovati in precedenza e semplifico
Però così conto anche la regione esterna che devo togliere quindi:
Che per n = 8 vale
[Nota del Moderatore: intuisco, ma non vedo, le formule: stavolta non ho fatto nulla...]
Ultima Modifica 15/01/2019 01:48 da devan.
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15/01/2019 12:30 - 23/03/2019 11:49 #507
da Francesco V.
Risposta da Francesco V. al topic Le suddivisioni del cerchio
Dal mio PC vedo ogni formula perfettamente, ma effettivamente dal Cell no... (temo vi sia un problema simile per un altro post)
Sto imparando a usare LaTeX ma non ho capito come dire al sito che una parte di testo è latex, e ho rimediato con immagini; ora riscriverò il messaggio con il testo
Ora spiego perché la risposta dovrebbe essere 99 (lo cancelli pure un'altra volta)... (inizierò assumendo che il numero di punti sia n)
Consideriamo il nostro cerchio come un grafo; inoltre, grazie alla caratteristica di Eulero ( V-S+F = 2) posso, sapendo Spigoli [lati] e Vertici [intersezioni],. calcolare il numero di Facce [regioni]... quindi...
Ogni insieme di quattro punti sul cerchio crea un solo punto all'interno, perciò ci sono "n scelta 4" vertici all'interno più n sul bordo. Per un totale di " (n scelta 4) + n".
I lati sono più complicati perché le corde sono semplicemente" n scelta 2 " ma intersecandosi si dividono; e bisogna poi aggiungere gli archi.
Può essere d'aiuto il fatto che n lati che si intersecano in m punti si dividono in n+2m lati.
I punti di incontro sono quelli interni al cerchio individuati prima: " n scelta 4 "
Quindi sommando le corde divise in "sottocorde" e gli archi si ottengono
"(n scelta 2) + 2(n scelta 4) + n" lati.
Quindi se V - S + F =2 allora F = 2 + S - V sostituisco i valori trovati in precedenza e semplifico
2+(n scelta 2) + 2(n scelta 4) + n - n - (n scelta 4)
2+(n scelta 2) + (n scelta 4)
Però così conto anche la regione esterna che devo togliere quindi:
1+(n scelta 2) + (n scelta 4)
Che per n = 8 vale
1+(8 scelta 2) + (8 scelta 4) =99
QED
[nota del moderatore: il numero del risultato non è mai stato cancellato, era solo scritto in bianco su fondo bianco; ora (23/3/19h11,49) ho ripristinato il colore naturale]
Sto imparando a usare LaTeX ma non ho capito come dire al sito che una parte di testo è latex, e ho rimediato con immagini; ora riscriverò il messaggio con il testo
Ora spiego perché la risposta dovrebbe essere 99 (lo cancelli pure un'altra volta)... (inizierò assumendo che il numero di punti sia n)
Consideriamo il nostro cerchio come un grafo; inoltre, grazie alla caratteristica di Eulero ( V-S+F = 2) posso, sapendo Spigoli [lati] e Vertici [intersezioni],. calcolare il numero di Facce [regioni]... quindi...
Ogni insieme di quattro punti sul cerchio crea un solo punto all'interno, perciò ci sono "n scelta 4" vertici all'interno più n sul bordo. Per un totale di " (n scelta 4) + n".
I lati sono più complicati perché le corde sono semplicemente" n scelta 2 " ma intersecandosi si dividono; e bisogna poi aggiungere gli archi.
Può essere d'aiuto il fatto che n lati che si intersecano in m punti si dividono in n+2m lati.
I punti di incontro sono quelli interni al cerchio individuati prima: " n scelta 4 "
Quindi sommando le corde divise in "sottocorde" e gli archi si ottengono
"(n scelta 2) + 2(n scelta 4) + n" lati.
Quindi se V - S + F =2 allora F = 2 + S - V sostituisco i valori trovati in precedenza e semplifico
2+(n scelta 2) + 2(n scelta 4) + n - n - (n scelta 4)
2+(n scelta 2) + (n scelta 4)
Però così conto anche la regione esterna che devo togliere quindi:
1+(n scelta 2) + (n scelta 4)
Che per n = 8 vale
1+(8 scelta 2) + (8 scelta 4) =99
QED
[nota del moderatore: il numero del risultato non è mai stato cancellato, era solo scritto in bianco su fondo bianco; ora (23/3/19h11,49) ho ripristinato il colore naturale]
Ultima Modifica 23/03/2019 11:49 da devan.
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15/01/2019 12:48 - 19/01/2019 21:01 #510
da Francesco V.
Risposta da Francesco V. al topic Le suddivisioni del cerchio
Ora spiego la correlazione con le potenze di 2, servendomi del triangolo di Pascal, in cui ogni numero è la somma dei due che gli sono sopra.
Si noti che la somma dei numeri di una riga è sempre 2^n dove n è il numero della riga.
2^0 -- 01
2^1 -- 01 01
2^2 -- 01 02 01
2^3 -- 01 03 03 01
2^4 -- 01 04 06 04 01
2^5 -- 01 05 10 10 05 01
2^6 -- 01 06 15 20 15 06 01
2^7 -- 01 07 21 35 35 21 07 01
2^8 -- 01 08 28 56 70 56 28 08 01
Nel suddetto triangolo posso trovare n scelta k nella seguente maniera scendo k righe e controllo la colonna n (es. 8 scelta 2)
2^0 -- 01
2^1 -- 01 01
2^2 -- 01 02 01
2^3 -- 01 03 03 01
2^4 -- 01 04 06 04 01
2^5 -- 01 05 10 10 05 01
2^6 -- 01 06 15 20 15 06 01
2^7 -- 01 07 21 35 35 21 07 01
2^8 -- 01 08 28 56 70 56 28 08 01
Si noti che per il problema di prima posso evidenziare sul triangolo i coefficienti binomiali (rosso) e i numeri che li generano sul triangolo (blu) (es. 1 + n scelta 2 + n scelta 4)
2^0 -- 01
2^1 -- 01 01
2^2 -- 01 02 01
2^3 -- 01 03 03 01
2^4 -- 01 04 06 04 01
2^5 -- 01 05 10 10 05 01
2^6 -- 01 06 15 20 15 06 01
2^7 -- 01 07 21 35 35 21 07 01
2^8 -- 01 08 28 56 70 56 28 08 01
Ma avendo evidenziato in blu l'intera linea è chiaro che in totale ho ottenuto una potenza di 2.
Però se considerassi n = 6, si evidenzia la prima differenza: non evidenzio un 1.
2^0 -- 01
2^1 -- 01 01
2^2 -- 01 02 01
2^3 -- 01 03 03 01
2^4 -- 01 04 06 04 01
2^5 -- 01 05 10 10 05 01
2^6 -- 01 06 15 20 15 06 01
2^7 -- 01 07 21 35 35 21 07 01
2^8 -- 01 08 28 56 70 56 28 08 01
Si noti che la somma dei numeri di una riga è sempre 2^n dove n è il numero della riga.
2^0 -- 01
2^1 -- 01 01
2^2 -- 01 02 01
2^3 -- 01 03 03 01
2^4 -- 01 04 06 04 01
2^5 -- 01 05 10 10 05 01
2^6 -- 01 06 15 20 15 06 01
2^7 -- 01 07 21 35 35 21 07 01
2^8 -- 01 08 28 56 70 56 28 08 01
Nel suddetto triangolo posso trovare n scelta k nella seguente maniera scendo k righe e controllo la colonna n (es. 8 scelta 2)
2^0 -- 01
2^1 -- 01 01
2^2 -- 01 02 01
2^3 -- 01 03 03 01
2^4 -- 01 04 06 04 01
2^5 -- 01 05 10 10 05 01
2^6 -- 01 06 15 20 15 06 01
2^7 -- 01 07 21 35 35 21 07 01
2^8 -- 01 08 28 56 70 56 28 08 01
Si noti che per il problema di prima posso evidenziare sul triangolo i coefficienti binomiali (rosso) e i numeri che li generano sul triangolo (blu) (es. 1 + n scelta 2 + n scelta 4)
2^0 -- 01
2^1 -- 01 01
2^2 -- 01 02 01
2^3 -- 01 03 03 01
2^4 -- 01 04 06 04 01
2^5 -- 01 05 10 10 05 01
2^6 -- 01 06 15 20 15 06 01
2^7 -- 01 07 21 35 35 21 07 01
2^8 -- 01 08 28 56 70 56 28 08 01
Ma avendo evidenziato in blu l'intera linea è chiaro che in totale ho ottenuto una potenza di 2.
Però se considerassi n = 6, si evidenzia la prima differenza: non evidenzio un 1.
2^0 -- 01
2^1 -- 01 01
2^2 -- 01 02 01
2^3 -- 01 03 03 01
2^4 -- 01 04 06 04 01
2^5 -- 01 05 10 10 05 01
2^6 -- 01 06 15 20 15 06 01
2^7 -- 01 07 21 35 35 21 07 01
2^8 -- 01 08 28 56 70 56 28 08 01
Ultima Modifica 19/01/2019 21:01 da devan.
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20/01/2019 10:59 #520
da Francesco V.
Risposta da Francesco V. al topic Le suddivisioni del cerchio
In effetti copiando su word l'intero messaggio e riscrivendolo tutto in nero il risultato diventa visibile...
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