Es 15 finale ita 1997

Grazie mille a entrambi, farò largo uso di queste informazioni!

Ciao Gianluca,
ieri avevo visto che avevi inserito anche la soluzione trigonometrica di questo problema.
Sono molto interessato a leggerla, ma non riesco a trovare il messaggio in cui l'hai inserita.

Hai cancellato il messaggio contenente la soluzione trigo... ? Perché l'hai cancellato?

Perché avevo, appunto, grossi problemi a scrivere le formule col Latex e l'ho rimosso. Appena posso mi ci metto e lo riscrivo per benino!

Eccoci qua!
Ebbene, sornione sornione, entro a gamba tesa e anticipo Bramo pubblicando la soluzione trigo, che ritengo molto più elegante e rapida della mia. D'altronde, non è farina del mio sacco ma di quello di un signore molto più avanti di me nel campo!
Denominiamo alcuni punti del luogo geometrico come in figura:


L'angolo MNT è bisecato in due parti congruenti, che chiameremo β, dal segmento NO'. Anche l'angolo NMT è bisecato in due parti congruenti, che indichiamo ambedue con α , dal segmento O'M. Inoltre, l'angolo NMP, di 60 gradi, è bisecato in due parti congruenti dal segmento OM, essendo O il baricentro del triangolo NMP. Dunque, l'angolo AMO misura 30-2α. Dato che O è il baricentro del triangolo NMP, esso divide le altezze dello stesso in due parti, una il doppio dell'altra. Dunque, OM ha lunghezza pari a due terzi di tale altezza, la quale, a sua volta, è pari alla metà del lato moltiplicata per la radice quadrata di 3. Quindi:

Dato che OAM è un triangolo rettangolo con angolo con angolo retto in A, si può esprimere la lunghezza del cateto minore, che coincide con il raggio della circonferenza, come:


Osserviamo ora il triangolo NTM. Innanzitutto possiamo dire che l'angolo NTM è di 120°, perché supplementare a un angolo di 60°. Dunque, la somma degli angoli TNM e NMT è pari a 60°. Dunque:
2α+2β=60°

Da cui:

β=30°- α

Il segmento O'H, anch'esso pari al raggio della circonferenza, è cateto minore dei due triangoli rettangoli NHO' ed MHO'. Le relazioni trigonometriche fra i lati di un triangolo rettangolo ci portano a dire che:
NH= O'H cotg β = r * cotg β = r * cotg (30°-α)
HM=O'H cotg α = r * cotg α
Ma MH+HM=NM=8, quindi:
r[cotg α + cotg (30°-α)]=8
da cui, con alcuni passaggi, si arriva a:


Eguagliando tra loro i secondi membri della (1) e della (2) si forma un'equazione avente come incognita sin²α, che giunge ad avere la seguente forma:
64 sin⁴α-40sin²α+1=0
da cui si arriva a:



Se al posto del doppio segno ± mettessimo il segno +, arriveremmo ad avere per sinα un valore (è facile verificarlo) superiore al valore di sin(15°). Ma sapendo che l'angolo NMT è inferiore a 30°, e di conseguenza α è minore di 15°, questa ipotesi sarebbe inaccettabile, quindi al posto del doppio segno va necessariamente il segno -.
Di conseguenza si ricava il valore di sinα, quello di cosα in base al primo principio della trigonometria e, sostituendo tali valori nella (1), si arriva alla soluzione che, come detto, è pari a 914 m.

Grazie Gianluca,
solo che da quanto aveva detto Bramo mi aspettavo una soluzione più sintetica (2 righe solo secondo quanto detto da Bramo)

bramo ha scritto: La soluzione che ho a disposizione è molto rapida (due righe), ma anche molto trigo, per cui aspetto a postarla.