il numero autodivisibile

Secondo me 3816547290 é autodivisibile.

Ciao Tommaso, sì, il numero nel messaggio è quello (unico, per 10 cifre) autodivisibile. Hai qualche (blando) suggerimento da dare? Nel tentare di risolverlo ti sei imbattuto in qualche numero "quasi autodivisibile"? [ne ho trovato uno che funzionerebbe se la divisione per 8 non facesse "virgola 5"]

Una strada che, a mio avviso, si potrebbe seguire è considerare quali cifre sono "bloccate" nel numero affinché sia autodivisibile.
Per esempio lo 0 non può che stare alla 10^a posizione poiché è l'unica cifra in cui può terminare un numero divisibile per 10.
Tolto di mezzo lo 0, ora anche il 5 è "bloccato" in 5^a posizione, poiché l'altra cifra in cui può terminare non è più disponibile.
Poiché un numero per essere divisibile per un numero pari deve essere pari, so che le cifre in 2^a, 4^a, 6^a, 8^a posizione devono essere pari.
Poiché ho esaurito le cifre pari tutti le altre posizioni devono essere dispari.

Quindi il numero cercato deve essere DPDP5PDPD0 (dove D indica dispari e P indica pari).

La stringa che ho evidenziato deve essere divisibile per quattro (per via del criterio di divisibilità : "Un numero è divisibile per quattro se lo sono le sue ultime 2 cifre") nella forma DP, ciò implica che la quarta cifra sia 2 o 6. Il numero deve quindi essere DPD₂⁶5PDPD0.

Quantunque forse si possa, io qui non sono più riuscito a continuare a ragionare e ho quindi iniziato a inserire numeri nella 3^a e nella 4^a posizione.

I tentativo:

DP125PDPD0 -> poiché 5+2=7 la 6^a cifra deve essere congrua a 2 modulo 3 e quindi può essere 2,5,8 ma 2 e 5 li ho già usati quindi ->
DP1258DPD0 -> poichè le cifre occupanti le posizioni dalla 6 alla 8 formano un numero che deve essere divisibile per otto (per via del criterio di divisibilità : "Un numero è divisibile per otto se lo sono le sue ultime 3 cifre") ma non esistono numeri divisibili per 8 nella forma 8DP che non contengano cifre già utilizzate questo primo tentativo è impossibile.

II tentativo:
DP165PDPD0 -> poiché 5+6=11 la 6^a cifra deve essere congrua a 1 modulo 3 e quindi può essere 1,4,7 ma 1 l'ho già usato e il 7 è dispari quindi ->
DP1654DPD0 -> poichè le cifre occupanti le posizioni dalla 6 alla 8 formano un numero che deve essere divisibile per otto (per via del criterio di divisibilità : "Un numero è divisibile per otto se lo sono le sue ultime 3 cifre") posso concludere ci sono solo due numeri divisibili per 8 nella forma 4DP che non contengano cifre già utilizzate e sono 432 e 472. (Le proverò entrambe) ->

Prima possibilità

DP165432D0 -> l'unico pari rimasto è 8 quindi ->
D8165432D0 -> ci sono due possibilità ora e sono : 7816543290 ma 781 non è divisibile per 3

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9816543290 ma 9816543 non è divisibile per 7
quindi questa prima possibilità è impossibile.

Seconda possibiltà

DP165472D0 -> l'unico pari rimasto è 8 quindi ->
D8165472D0 -> ci sono due possibilità ora e sono : 3816547290 (corretto)

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3816547230 ma 3816547 non è divisibile per 7.

Il numero autodivisibile è 3816547290.

Francesco V. il 6/1 h12,49 ha scritto un messaggio (attualmente in moderazione) che inizia così:
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Una strada che, a mio avviso, si potrebbe seguire è considerare quali cifre sono "bloccate" nel numero affinché sia autodivisibile.
Per esempio lo 0 non può che stare alla 10a posizione poiché è l'unica cifra in cui può terminare un numero divisibile per 10.
Tolto di mezzo lo 0, ora anche il 5 è "bloccato" in 5a posizione, poiché l'altra cifra in cui può terminare non è più disponibile.
Poiché un numero per essere divisibile per un numero pari deve essere pari, so che le cifre in 2a, 4a, 6a, 8a posizione devono essere pari.
Poiché ho esaurito le cifre pari tutti le altre posizioni devono essere dispari.

Quindi il numero cercato deve essere DPDP5PDPD0 (dove D indica dispari e P indica pari).

La stringa che ho evidenziato deve essere divisibile per quattro (per via del criterio di divisibilità : "Un numero è divisibile per quattro se lo sono le sue ultime 2 cifre") nella forma DP, ciò implica che la quarta cifra sia 2 o 6. Il numero deve quindi essere DPD₂⁶5PDPD0.
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La mail prosegue correttamente (salvo un refuso nella penultima riga; la prima cifra è 9, non 3 ). Si può scorciare (ma davvero di poco, a conti fatti), osservando subito dopo che anche l'ottava cifra, come la quarta, ha dei vincoli (gli stessi, rafforzati), e quindi ci sono due sole possibili disposizioni dei numeri pari che siano, in prima battuta, plausibili; ad un'analisi più attenta, uno dei due modi conduce rapidamente in un vicolo cieco, mentre l'altro costringe a provare un po' di divisioni per 7 (ok, qui si può usare la calcolatrice) prima di poter concludere che la soluzione è quella lì ed è unica (oppure, secondo quanto sono stati accorti i vincoli posti a proposito della divisione per 8, che ce ne potrebbero essere due di apparenti soluzioni, una delle quali però non supera il test della divisione per 8 ).