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Esercizio dagli allenamenti - 2
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08/08/2017 16:59 #153
da Apemath
Esercizio dagli allenamenti - 2 è stato creato da Apemath
So che questo es è di Gardner e so che esistono due o tre soluzioni: una per via formale usando gli integrali, l'altra analizzando il caso e l'altra una via di mezzo. Come si fa quindi?
Nel centro di una sfera solida è praticato un foro cilindrico lungo 6 centimetri. Qual è il volume che
rimane?
Nel centro di una sfera solida è praticato un foro cilindrico lungo 6 centimetri. Qual è il volume che
rimane?
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04/09/2017 18:25 - 04/09/2017 18:36 #184
da BraMo
Risposta da BraMo al topic Esercizio dagli allenamenti - 2
Per un problema possono esistere più soluzioni, e tutte corrette. Dunque difficile rispondere alla tua domanda "Come si fa quindi?".
A me piace la seguente.
Il volume che cerchiamo è \(V = V_\text{sfera} - V_\text{cil} - 2 \times V_\text{calotta}\).
Il volume della sfera di raggio \(R\) è \(\frac{4}{3} \pi R^3\).
Se il cilindro è alto \(6\), possiamo calcolare il raggio del buco alla base del cilindro (Pitagora): \(\sqrt{R^2 - 3^2}\), dove \(R\) è il raggio della sfera. Il volume del cilindro è dunque \(V_\text{cil} = 6 \pi (R^2 - 9)\).
Il volume di una delle due calotte sferiche alta \(h = R - 3\) è \(V_\text{calotta} = \pi h^2 (R - \frac{h}{3}) = \frac{\pi}{3} (R - 3)^2 (2R + 3)\).
Facendo i conti si ottiene semplicemente \(V = 36 \pi \), indipendente dal raggio della sfera.
A me piace la seguente.
Il volume che cerchiamo è \(V = V_\text{sfera} - V_\text{cil} - 2 \times V_\text{calotta}\).
Il volume della sfera di raggio \(R\) è \(\frac{4}{3} \pi R^3\).
Se il cilindro è alto \(6\), possiamo calcolare il raggio del buco alla base del cilindro (Pitagora): \(\sqrt{R^2 - 3^2}\), dove \(R\) è il raggio della sfera. Il volume del cilindro è dunque \(V_\text{cil} = 6 \pi (R^2 - 9)\).
Il volume di una delle due calotte sferiche alta \(h = R - 3\) è \(V_\text{calotta} = \pi h^2 (R - \frac{h}{3}) = \frac{\pi}{3} (R - 3)^2 (2R + 3)\).
Facendo i conti si ottiene semplicemente \(V = 36 \pi \), indipendente dal raggio della sfera.
Ultima Modifica 04/09/2017 18:36 da BraMo.
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04/09/2017 18:36 - 04/09/2017 18:37 #185
da BraMo
Risposta da BraMo al topic Esercizio dagli allenamenti - 2
Un'altra soluzione (laterale ma interessante) del problema è la seguente.
Il problema non sarebbe stato dato se non avesse un'unica soluzione. In tal caso, sarebbe valido indipendentemente dal raggio del buco cilindrico, pur mantenendo la sua altezza di \(6\). Riducendo il raggio del cilindro a \(0\), rimane una sfera di diametro \(6 \text{ cm}\), dunque il volume cercato è \(36 \pi\).
Il problema non sarebbe stato dato se non avesse un'unica soluzione. In tal caso, sarebbe valido indipendentemente dal raggio del buco cilindrico, pur mantenendo la sua altezza di \(6\). Riducendo il raggio del cilindro a \(0\), rimane una sfera di diametro \(6 \text{ cm}\), dunque il volume cercato è \(36 \pi\).
Ultima Modifica 04/09/2017 18:37 da BraMo.
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