Divisione per 2007

Qual'è la 2000-esima cifra decimale di 1/2007 ?

Per risolvere questo problema basta riflettere sul fatto che 1/2007 è un numero periodico con un periodo di 222 cifre ....

Da cosa si deduce che il periodo di questa frazione è di 222 cifre decimali ?

ZERO

Alessandro Beverini ha scritto: Per risolvere questo problema basta riflettere sul fatto che 1/2007 è un numero periodico con un periodo di 222 cifre ....

Da cosa si deduce che il periodo di questa frazione è di 222 cifre decimali ?

Credo si possa dimostrare che una frazione propria k/n con n numero primo equivale ad un numero periodico con periodo pari ad n-1 o ad un suo divisore, salvo i casi in cui n=2 ed n=5. Il prodotto di due numeri con periodo rispettivamente m e q, inoltre, è un numero con periodo dato dal prodotto m*q (o da un suo divisore). Considerato ciò, e tenuto conto che 2007=9*223, giacché 1/9 ha periodo 1, 1/2007 ha periodo pari a 1*(223-1)=222 o un suo divisore. Quindi le cifre del periodo si ripetono uguali dopo 222*9=1998 cifre. Dunque, la duemillesima cifra è uguale alla seconda. Basta fare la divisione in colonna, o fare la semplice considerazione che 1/2007<1/2000=0,0005 e il gioco è fatto!