Parigi, 31/08/2017 (Esercizio 18)

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23/09/2017 16:29 #188 da Alessandro Beverini
Sto provando a risolvere gli esercizi della finale di Parigi,
ho dei dubbi sulla soluzione del n° 18
Questo è il testo del problema:

Il mago Hic ha scelto un numero intero naturale di 4 cifre.
Sergio sceglie un intero naturale ed aggiunge il quadrato di questo numero al numero del mago Hic.
Pietro sceglie un intero naturale e moltiplica il quadrato di questo numero per quello del mago Hic.
Il prodotto tra il risultato di Sergio e quello di Pietro è: 123456789
Che numero ha scelto il mago Hic ?



Ho provato a risolverlo cosi:
chiamo x il numero del mago Hic, chiamo S il numero di Sergio e P quello di Pietro.
Ottengo: (S²+x)*(P²*x)=123456789
che può essere scritta anche cosi: P²*(S²*x+x²) =123456789

Noto che 123456789 è divisibile per 9 , si ha che: 13717421*9=123456789
per cui ipotizzo che sia P²=9 e (S²*x+x²)=13717421
Per verificare questa ipotesi, noto che 13717421 non è divisibile per 7 e nemmeno per 11;
per cui se P² fosse maggiore di 9, dovrebbe essere uguale ad almeno 9*169
e (S²*x+x²) non potrebbe essere superiore a 13717421/169.
Ciò non è possibile, perché x è un numero di 4 cifre e quindi x² deve avere almeno 7 cifre,
e a maggior ragione (S²*x+x²) deve essere formato da almeno 7 cifre;
ma la parte intera di 13717421/169 è formata da solo 6 cifre.

Il numero di Pietro è quindi P = 3
Ora sapendo che (S²*x+x²)=13717421 calcolo la radice quadrata di 13717421, perché mi può essere di aiuto per scomporre 13717421 in fattori primi
La parte intera della radice quadrata di 13717421 è uguale a 3703
Ora so che 13717421 è il prodotto di 2 numeri, la cui media aritmetica supera di poco 3703
Questi due numeri sono entrambi dispari, in quanto 13717421 è un numero dispari.
Notando che (S²*x+x²) =x*(S²+x) deduco che 13717421 è il prodotto di due numeri, la cui differenza è un quadrato perfetto; quindi provo a cercare tutti i possibili prodotti tra due numeri dispari che abbiano la media aritmetica leggermente superiore a 3703 e la cui differenza sia un quadrato perfetto che sia pari (dovendo essere i 2 numeri entrambi dispari)
Provo con 4, 16, 36, 64, 100, 144, 196 (che mi da il risultato cercato)
13717421= 3607*3803

E la soluzione è quindi x=3607 (con S=14)


Il mio dubbio è: Come si dimostra che la soluzione è unica?
(Dovrei dimostrare che 3607 è un numero primo. E non mi pare una cosa facile!!!)

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02/10/2017 19:45 - 03/10/2017 15:45 #190 da Gabri
Dove posso trovare i testi di Parigi 2017?
Per provare che 3607 è primo si cercano gli eventuali divisori. Il metodo tradizionale considera che fra i divisori non può esserci nessun numero primo maggiore di radq(3607) che è circa 60. si tratta ora di eseguire le divisioni di 3607 per tutti i rimi minori di 60 cioè 59, 53,...
Questo metodo non è facilmente applicabile alla ricerca della scomposizione in fattori primi di numeri grandi come N=13717421.
Fermat suggerisce questo metodo, utile quando i divisori sono vicini alla radice quadrata del numero N (la citazione è in Teoria dei numeri di André Weil ed. Castelvecchi pag 78).
Se N=13717421, e la radice quadrata per difetto è n=3703, Fermat provò scrivendo N=x^2-y^2, siccome x deve essere maggiore di n, ciò può essere fatto scrivendo la successione
(n+1)^2-N
(n+2)^2-N
(n+3)^2-N...
finché non si trovi un quadrato.
Dal momento che le differenze fra i numeri consecutivi della successione sono
2n+3
2n+5...
il calcolo può essere eseguito facilmente.
In questo caso, con n=3703 si ha
3704^2-13717421= 2195 (non è un quadrato)
3705^2-13717421= 2195+2x3703+3=9604=98^2
e quindi 13717421=(3705-98)(3705+98)=3607x3803
Mi piacerebbe sapere qual è il regolamento dei giochi di Parigi, quanto tempo è concesso, sono consentiti strumenti di calcolo, quanti e quali quesiti si devono risolvere nelle varie categorie... ho impiegato diverso tempo per risolvere questo quesito e provato con tre diversi metodi prima di trovare la risposta .
Se si opera per tentativi suggerirei che si può ridurne il numero osservando che il numero x(x+s^2)=13717421 termina con 1, quindi i fattori x e (x+s^2) devono avere le cifre delle unità che soddisfano a certe caratteristiche (3X7=21 e 9X9=81).
Non mi sembra che tu abbia spiegato perché scartare p=1 , cosa che mi sembra più facile verificare a posteriori, dopo aver trovato la scomposizione di 123456789
Ultima Modifica 03/10/2017 15:45 da Gabri.

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03/10/2017 18:09 #193 da Alessandro Beverini
Ciao Gabri,
i testi li puoi trovare qui:
homepage.hispeed.ch/FSJM/documents/31_FI-Enonces-A.pdf
e qui:
homepage.hispeed.ch/FSJM/documents/31_FI-Enonces-B.pdf

Per quanto riguarda le regole del torneo, non sono ammesse calcolatrici e quindi non è semplice verificare che un numero è primo provando a dividerlo per tutti i fattori primi minori della sua radice quadrata. (perché implicherebbe dover svolgere parecchie divisioni, per cui suppongo esista un metodo più rapido)

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03/10/2017 22:27 #194 da Gabri
Grazie per i link. Purtroppo oltre ai due metodi per la ricerca dei fattori primi che ho citato non ne conosco altri.

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