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Giochi Matematici Bocconi - Livello facile, ma non mi riesce... :( - Pagina 2 - Giochi Matematici

Livello facile, ma non mi riesce... :(

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16/08/2017 11:08 #160 da Alessandro Beverini
Ciao Apemath,
provo a spiegare una cosa alla volta.

1) Perché il numero 3 non può far parte del quadrato ?

Se il numero 3 facesse parte di questo quadrato, sarebbe l’unico multiplo di 3 presente nel quadrato; proviamo ora a sistemare il 3 nel quadrato.
Può stare al centro?

Caso 1 La somma degli elementi della colonna centrale è un multiplo di 3

Non essendoci altri multipli di 3 nel quadrato, A e D non sono multipli di 3
Se A diviso 3 avesse resto uguale a 2 allora A+3x+1 sarebbe un multiplo di 3 e D dovrebbe essere multiplo di 3 per far si che A+3x+1+D sia multiplo di 3
Da ciò deduco che A diviso 3 ha resto uguale a 1
In modo analogo deduco che D diviso 3 ha resto uguale a 1

Ed in modo analogo deduco che C diviso 3 ha resto uguale a 2
e che F diviso 3 ha resto uguale a 2
Ma da ciò deriverebbe B ed E sarebbero multipli di 3 e non è possibile

Caso 2 La somma degli elementi della colonna centrale non è un multiplo di 3

Non essendoci altri multipli di 3 nel quadrato, A e D non sono multipli di 3
Se A diviso 3 avesse resto uguale a k allora A+3x+k diviso 3 avrebbe resto uguale a 2k e quindi D dovrebbe essere multiplo di 3 per far si che anche A+3x+k+D diviso 3 abbia resto uguale a 2k
La stessa cosa analoga vale per F
Ma da ciò ricavo che A+3+F avrebbe resto diverso da 2k e non è possibile perché il risultato deve essere lo stesso della degli elementi della colonna centrale

In modo analogo ragiono situando il 3 nelle altre posizioni del quadrato
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16/08/2017 11:26 #161 da Alessandro Beverini
Passo 2

Perché tutti i numeri presenti nel quadrato devono essere congruenti a 1 modulo 3 ?

Nel quadrato sappiamo essere presente il numero 1, se fosse presente anche un numero che diviso 3 avesse resto uguale a 2 avremmo una fila F in cui la somma degli elementi non è un multiplo di 3,

Caso 1
Abbiamo due elementi della fila F congruenti a 1 modulo 3 ed un elemento congruente a 2 modulo 3
(In questa figura la fila F è la colonna centrale del quadrato)



A e D modulo 3 dovranno essere diversi tra loro
C ed F modulo 3 dovranno essere congruenti a 1

Ma così (A + F + 1) o (C + D + 1) sarebbe un multiplo di 3 e ciò non è possibile perché deve essere uguale alla somma degli elementi della fila F (colonna centrale nella figura qui sopra) che non è un multiplo di 3

Caso 2
Si procede ragionando allo stesso modo del caso 1
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16/08/2017 11:40 - 16/08/2017 11:46 #162 da Alessandro Beverini
Infine, facciamo la lista dei numeri primi che hanno resto uguale a 1 se divisi per 3

7
13
19
31
37
43
61
67
73
79
……



I primi 8 hanno somma uguale a 278, aggiungo 1 ed ottengo 279 = 31*9

Può essere l’elemento centrale uguale a 31 ?

No, perché non ho 4 coppie la cui somma sia 62 = 31*2
Infatti ho solo 61+1 e 43+19

Considero il numero successivo che è 37

Può essere l’elemento centrale uguale a 37 ?

Ho 4 coppie la cui somma sia 74 = 37*2

Si, ho 73+1, 67+7, 61+13, 43+31

Provo a costruire il quadrato, inizio ponendo il 37 al centro.
Quanti tentativi devo fare per arrivare alla soluzione ?
Devo decidere se mettere il 73 in un vertice o su uno spigolo,
E successivamente ho 3 posti in cui poter mettere il 67
Una volta sistemati questi numeri, gli altri vanno al loro posto di conseguenza


Totale solo 6 tentativi, infatti 3*2=6
Ultima Modifica 16/08/2017 11:46 da Alessandro Beverini.

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16/08/2017 11:47 #163 da Apemath
Ok, grazie Alessandro. Dammi solo qualche giorno per leggere con calma e poi ti dico se è tutto ok! :)

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16/08/2017 13:41 #164 da Alessandro Beverini
Per completezza resta da dimostrare che il numero centrale del quadrato deve essere uguale a un terzo della costante magica.

Considero il seguente quadrato:



A+B+X = C+D+X = E+F+X = G+H+X
da cui ricavo:
A+B = C+D = E+F = G+H

Ed essendo tutti numeri dispari: A+B = C+D = E+F = G+H = 2*N

Ponendo Y=X-N ho X=Y+N

Qundi la riga centrale ha somma uguale a G+H+X=2N+N+Y=3N+Y
La prima e la terza riga devono avere la stessa somma,
quindi la somma di tutti gli elementi del quadrato è uguale a: 9N+3Y
La somma di tutti gli elementi del quadrato è anche uguale a: A+B+C+D+E+F+G+H+X=8N+X

Dall’equazione 9N+3Y=8N+X=8N+N+Y ottengo 9N+3Y=9N+Y quindi Y=0

E ciò significa che X=N

Ciò significa anche che la somma degli elementi del quadrato è uguale a 9 volte l’elemento centrale,
e quindi la somma di ogni fila è un multiplo di 3

E il fatto che la somma di ogni fila è un multiplo di 3 rende immediato vedere che se il numero 1 fa parte del quadrato allora anche tutti gli altri numeri del quadrato sono congruenti a 1 modulo 3

Ringrazio quindi moltissimo Apemath e BraMo che con i loro interventi mi hanno fatto trovare un modo per semplificare la soluzione di questo problema.
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16/08/2017 22:41 - 16/08/2017 23:13 #165 da BraMo
Provo a semplificarla ulteriormente, o almeno, già che ho provato a farlo prima di leggere gli ultimi post, condivido quanto fatto.
Chiamando \(k\) la costante magica, ho provato a partire da \(\begin{bmatrix}a&b&\\&c&\\&&\end{bmatrix}\).
Si ottiene, al primo passaggio,
\[\begin{bmatrix}a&b&k-a-b\\&c&\\&k-b-c&k-a-c\end{bmatrix}\]
a cui segue facilmente, calcolando prima la casella a dx e poi quella a sx della riga centrale:
\[\begin{bmatrix}a&b&k-a-b\\2k-2a-b-2c&c&2a+b+c-k\\&k-b-c&k-a-c\end{bmatrix}\]
Calcolando infine il valore della casella rimasta utilizzando la terza riga (o la prima colonna) e la diagonale si ha
\(-k+a+b+2c = a+b-c\) cioè \(k = 3c\), confermando dunque che la costante \(k\) di qualunque quadrato magico \(3 \times 3\) è divisibile per \(3\) ed uguale al triplo del numero centrale.
Ultima Modifica 16/08/2017 23:13 da BraMo.

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