Esercizio dagli allenamenti - 1

Questo esercizio degli allenamenti della Bocconi è strano, cmq se fossero positivi immagino che l'unica soluzione sarebbe 1,2,3 quindi suppongo che se ci fossero anche i negativi allora anche -1,-2,-3 andrebbe bene e immagino che forse non ci siano altre coppie, ma non so come dimostrarlo..

Scrivere tutte le terne di numeri interi diversi da 0 tali che la loro somma è uguale al loro prodotto.
Quante soluzioni ammette il problema? Quali?

Scusami Bramo per non averti risposto, ma non avevo piú fatto accesso al forum.. sinceramente il caso tutti positivi poi l'ho fatto all'incirca come hai fatto tu; ma il caso tutti negativi o un po' negativi come si fa?

Apemath ha ragione, in effetti ci sarebbe anche la soluzione (-3; -2; -1).
Posto sempre a≤b≤c, se poniamo a<0 perveniamo alla formula generale (kb+1)(kc+1)=k²+1, dove k è il valore assoluto di a.
Per a=-1 ed a=-2 non perveniamo a soluzioni che rispettino l'ordine imposto ai tre numeri interi. Per a=-3 troviamo la soluzione che ho citato inizialmente e che, peraltro, è perfettamente valida pur non rispettando la condizione ab≤3 descritta da Bramo. E ciò per un semplice motivo: poiché si perviene a quella condizione da abc≤3c, essa diventa ab≤3 se c è positivo, ma diventa ab≥3 qualora, come in questo caso, c fosse negativo.

Proseguendo il ragionamento, possiamo dire che, a parte quella citata nel mio precedente post, non esistono altre terne di numeri interi negativi la cui somma equivale al loro prodotto. Se esistessero, infatti, 3 numeri interi negativi a',b' e c' (con a'≤b'≤c') aventi tale caratteristica, esisterebbero di conseguenza tre numeri interi positivi a"=-c', b"=-b' e c"=-a' che soddisfano anch'essi le condizioni imposte dal quesito. Ma l'unica terna di interi positivi con tali caratteristiche è quella citata da Bramo, ossia 1, 2, 3, come da lui efficacemente dimostrato. L'unica possibilità che resta per trovare, se esistono, altre soluzioni al quesito, è imporre che a e c siano discordi. In tal caso, ovviamente, stante l'ordine imposto ai tre numeri, a sarà negativo e c positivo. Con a negativo, torniamo a fare riferimento all'uguaglianza
(kb+1)(kc+1)=k²+1 (*)
Dato che abbiamo esaminato tutti i casi in cui -3≤a≤-1, poniamo ora a≤-4, e quindi k>3.
Sotto tali condizioni, dato che il secondo membro della (*) è positivo tanto quanto il fattore (kc+1), dovrà di conseguenza esserlo anche il fattore (kb+1), e dunque lo sarà anche b. Il prodotto abc risulterà dunque negativo, quindi dovrà esserlo anche la loro somma. Ne consegue che k>b+c. Ma se torniamo alla (*) e la trasformiamo in un'equazione di secondo grado in forma normale con incognita k, essa diventa:
(bc-1)k²+(b+c)k=0 (**)
Tale equazione ha due soluzioni: una, k=0, è inammissibile per le condizioni imposte dal quesito; l'altra, k=(b+c)/(bc-1), è inconciliabile con la condizione k>b+c. Dunque, possiamo serenamente affermare che, a parte (1, 2, 3) e (-3, -2, -1), non ci sono altre soluzioni al quesito.