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Giochi Matematici Bocconi - Esercizio dagli allenamenti - 1 - Giochi Matematici

Esercizio dagli allenamenti - 1

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08/08/2017 16:57 #152 da Apemath
Questo esercizio degli allenamenti della Bocconi è strano, cmq se fossero positivi immagino che l'unica soluzione sarebbe 1,2,3 quindi suppongo che se ci fossero anche i negativi allora anche -1,-2,-3 andrebbe bene e immagino che forse non ci siano altre coppie, ma non so come dimostrarlo..

Scrivere tutte le terne di numeri interi diversi da 0 tali che la loro somma è uguale al loro prodotto.
Quante soluzioni ammette il problema? Quali?

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17/08/2017 00:45 - 17/08/2017 00:45 #167 da BraMo
Risposta da BraMo al topic Esercizio dagli allenamenti - 1
Escludendo il caso, altrimenti valido, \((a,b,c) = (0,0,0)\) (testo) e i casi negativi, possiamo supporre \( a <= b <= c \) e scrivere
\[ a+b+c = abc <= 3c\]
che dà \(ab <= 3\).
Ci sono solo tre casi: \((a,b) = (1,1), (1,2), (1,3)\).
Il primo caso dà \(2+c = c\) (impossibile). Il secondo caso porta alla soluzione \((a,b,c) = (1,2,3)\) e il terzo a \((a,b,c) = (1,3,2)\), che sarebbe da eliminare (\(b>c\)).
Ultima Modifica 17/08/2017 00:45 da BraMo.

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12/11/2017 18:17 #203 da Apemath
Scusami Bramo per non averti risposto, ma non avevo piú fatto accesso al forum.. sinceramente il caso tutti positivi poi l'ho fatto all'incirca come hai fatto tu; ma il caso tutti negativi o un po' negativi come si fa?

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16/02/2018 10:59 #286 da Gianluca Mancuso
Apemath ha ragione, in effetti ci sarebbe anche la soluzione (-3; -2; -1).
Posto sempre a≤b≤c, se poniamo a<0 perveniamo alla formula generale (kb+1)(kc+1)=k2+1, dove k è il valore assoluto di a.
Per a=-1 ed a=-2 non perveniamo a soluzioni che rispettino l'ordine imposto ai tre numeri interi. Per a=-3 troviamo la soluzione che ho citato inizialmente e che, peraltro, è perfettamente valida pur non rispettando la condizione ab≤3 descritta da Bramo. E ciò per un semplice motivo: poiché si perviene a quella condizione da abc≤3c, essa diventa ab≤3 se c è positivo, ma diventa ab≥3 qualora, come in questo caso, c fosse negativo.

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18/02/2018 15:39 #306 da Gianluca Mancuso
Proseguendo il ragionamento, possiamo dire che, a parte quella citata nel mio precedente post, non esistono altre terne di numeri interi negativi la cui somma equivale al loro prodotto. Se esistessero, infatti, 3 numeri interi negativi a',b' e c' (con a'≤b'≤c') aventi tale caratteristica, esisterebbero di conseguenza tre numeri interi positivi a"=-c', b"=-b' e c"=-a' che soddisfano anch'essi le condizioni imposte dal quesito. Ma l'unica terna di interi positivi con tali caratteristiche è quella citata da Bramo, ossia 1, 2, 3, come da lui efficacemente dimostrato. L'unica possibilità che resta per trovare, se esistono, altre soluzioni al quesito, è imporre che a e c siano discordi. In tal caso, ovviamente, stante l'ordine imposto ai tre numeri, a sarà negativo e c positivo. Con a negativo, torniamo a fare riferimento all'uguaglianza
(kb+1)(kc+1)=k2+1 (*)
Dato che abbiamo esaminato tutti i casi in cui -3≤a≤-1, poniamo ora a≤-4, e quindi k>3.
Sotto tali condizioni, dato che il secondo membro della (*) è positivo tanto quanto il fattore (kc+1), dovrà di conseguenza esserlo anche il fattore (kb+1), e dunque lo sarà anche b. Il prodotto abc risulterà dunque negativo, quindi dovrà esserlo anche la loro somma. Ne consegue che k>b+c. Ma se torniamo alla (*) e la trasformiamo in un'equazione di secondo grado in forma normale con incognita k, essa diventa:
(bc-1)k2+(b+c)k=0 (**)
Tale equazione ha due soluzioni: una, k=0, è inammissibile per le condizioni imposte dal quesito; l'altra, k=(b+c)/(bc-1), è inconciliabile con la condizione k>b+c. Dunque, possiamo serenamente affermare che, a parte (1, 2, 3) e (-3, -2, -1), non ci sono altre soluzioni al quesito.

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