della finale del 2005 italiana

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03/07/2017 08:02 #123 da Apemath
È un esercizio pieno di conti, prima scritto tuttq la sequenza e ho provato ad eliminare man mano i numeri, ma a un certo punto mi blocco.



Scrivete la lista dei primi 2005 numeri interi : 1, 2, 3,….,
2005. Cancellate i primi due e scrivete la loro somma alla
fine della lista: 3,4, …, 2005, 3. Continuate così,
cancellando i primi due rimasti e riportando la loro somma
alla fine della lista: 5, 6, … 2005, 3, 7. Non stancatevi :
continuate allo stesso modo finche vi rimane un solo
numero.
Qual è la somma di tutti i numeri scritti, compresi
quelli iniziali?

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03/07/2017 21:49 #130 da Giorgio Dendi
Ciao, Apemath.
Penso che tu abbia lavorato giusto. E infatti dopo un po' non si riesce a controllare tutti i numeri e ci si impantana. Io cerco di insegnare a risolvere proprio i "trucchetti" per venire a capo di simili problemi. Non riesci proprio a venire sul Lago Maggiore a fine mese con noi?

Veniamo al problema.
Di solito si capisce il meccanismo se si lavora su numeri piccoli, non sicuramente su 2005 valori . Anche perché 2005 non è uno dei numeri più simpatici per questo esercizio.
Allora, proviamo con qualche numero piccolo.

Ad un certo punto ti accorgerai che con qualche valore (con la lista fino a 10? con la lista fino a 25? ...?) il risultato è facilmente calcolabile.

Hai provato?
Hai trovato?

Ne parliamo dopo che hai provato un po'.

Ciao.

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04/07/2017 09:42 #137 da Apemath
Prima di postarlo avevo già provato diverse volte... :(
Ho riprovato ancora, ma l'unica cosa che vedo è che nella somma richiesta ci saranno 2005+2004 termini dei quali i primi 2005 saranno avranno somma 1+2+3+...+2005 e l'ultimo termine sarà uguaoe somma dei primi 2005 ossia sempre a 1+2+3+..+2005
Poi partendo da caso 1 fini a 30 non ho visto regolarità... :(

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06/07/2017 00:42 #141 da Gabri
Risposta da Gabri al topic della finale del 2005 italiana
Visto che si tratta di sommare a coppie consiglio di fare un primo tentativo con una potenza di 2, ad esempio 16
la sequenza in questo caso sarà 1, 2, 3, 4..., 15, 16, 3, 7, 11,..., 27, 31,10, 26, 42, 58, 36, 100, 136
si può calcolare la somma dei primi 16 termini con la formula n(n+1)/2 e a questo punto il totale è presto fatto
le cose si complicano con un numero iniziale che non è una potenza di 2 perché prima o poi si incontrerà un numero di addendi dispari ....
prova a fare la somma in alcuni di questi casi ( 10 o 15 o 25 ) e dovresti capire che cosa succede e come si deve calcolare il risultato finale

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26/08/2017 22:30 - 26/08/2017 22:32 #175 da Giorgio Dendi
Sì, Gabri! Io ho notato quello che hai notato tu: se il numero di carte è una potenza di 2, è facile vedere come va a finire.
Prendiamo 8 numeri: 1 2 3 4 5 6 7 8, che diventano 3 7 11 15 che diventano 10 26 che diventano 36. Quindi il totale di 36 si ripete 4 volte, cioè una volta di più della potenza di 2.
Questa cosa parte anche se i numeri iniziali non sono numeri consecutivi. Ad esempio se parto da 7 413 8 51 23 4564646 8 90, il totale finale sarà 4 volte la somma di questi numeri.
Allora se avessi 2^10 = 1024 numeri iniziali, il totale finale sarà la somma dei 1024 valori, moltiplicato per 11.
Allora facciamo sì che i numeri non siano più 2005, ma 1024. Per far questo, dobbiamo prendere 2005-1024=981 coppie, visto che ogni volta che prendiamo una coppia la cancelliamo e scriviamo un numero nuovo. E' facile vedere cosa succede nei primi 981 passaggi: si scrive 3 7 11 15... e si cancellano tutti i numeri fino a 981x2=1962. La somma dei numeri cancellati è facile calcolare (1962x1963:2). Da questo momento abbiamo, come dicevamo la somma dei valori (che è sempre la somma di tutti i numeri da 1 a 2005=2005x2006:2) ripetuta altre 11 volte.
Ultima Modifica 26/08/2017 22:32 da Giorgio Dendi.

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11/03/2019 23:24 #528 da Gianluca Mancuso
Posso dirlo? E' uno dei quesiti più odiosi e detestabili mai proposti nelle competizioni del Pristem! :angry:

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