Finali nazionali 2015 esercizio 8

In diversi modi si può mostrare che il numero di tessere di un domino con \(n\) punti distinti è \( \frac{n \, (n + 1)}{2} \).

Il domino con \( n = 7 \) punti distinti (\( n =0 \dots 6 \)) ha dunque \( \frac{7 \times 8}{2} = 28 \) tessere e quello con \( n=11 \) punti distinti (\( n = 0 \dots 10 \)) ne ha \( \frac{11 \times 12}{2} = 66 \).

Hai diversi modi, ma un'idea può essere la seguente: due fasi.

Prima spieghi la formuletta per sommari i primi \(n\) numeri naturali. "Quanto vale la somma dei numeri da 1 a \(n\)?" E qui hai diversi modi. Un'idea potrebbe essere: parti con \(n\) piccolo pari, scrivi la lista e fai vedere che, sommando il primo (1) e l'ultimo (\(n\)) ottieni \(n+1\), sommando il secondo (\(2\)) e il penultimo (\(n-1\)) ottieni ancora \(n+1\), .... Quante coppie ci sono? \(n/2\). E dunque hai la formuletta per la somma dei primi \(n\) naturali, che può senz'altro risultarle utile in mille contesti. Se vuoi puoi anche raccontare dei numeri trianglolari e oltre.

Per la seconda fase passi al domino: partiamo con lo 0, quanti "amici" ha (alias: quanti numeri posso scrivere a fianco dello 0)? Sette tessere: 00, 01, 02, ..., 06. Passiamo all'1, quanti "amici" ha? Sei tessere che non abbiamo già contato: 11, 12, 13, 14, 15, 16. E così via, fino al 6, con la sola tessera 66. Dunque le tessere sono \(7+6+...+1\) e ti ricolleghi alla formuletta precedente.