Semifinale 2019 - quesito 18 - La frazione dell'anno

Ciao a tutti,
il quesito 18 della finale di quest'anno recitava così:

Trovate tre interi positivi a, b, c, tutti inferiori a 50 , per i
quali risulta 20/19 = (a³ + b³)/(a³ + c³).

In gara non sono riuscito a risolvere il quesito e dopo qualche settimana ho visto che il quesito è stato pubblicato su Prisma di aprile insieme a soluzioni e procedimento.
Il procedimento però risulta incompleto e con un errore quindi ad oggi il problema rimane aperto perché, pur avendo trovato la soluzione non ho ancora trovato una dimostrazione rigorosa.


Il prof. Geronimi (su Prisma) trasforma l'equazione in:

20 (a+c)(a²-ac+c²) = 19 (a+b)(a²-ab+b²)

e arriva a dire che i due "falsi quadrati" sono uguali tra loro. Empiricamente si vede che è così, ma perché???


Ne ho parlato anche con Marco Broglia (Che anche quest'anno è arrivato primo) che ci sta lavorando ma ancora non ha una dimostrazione rigorosa...

Vediamo se siamo più veloci di lui

Scherzi a parte, sono benvenute tutte le considerazioni.

Grazie a tutti!

Buonasera a tutti,

Propongo la mia soluzione al quesito, non so però se sia sufficientemente rigorosa!
Sono partita anche io dalla scomposizione della somma dei due cubi in:

a³ + b³ = (a+b)(a²-ab+b²)
a³ + c³ = (a+c)(a²-ac+c²)

ed ho poi sostituito le due scomposizioni all'interno dell'equazione di partenza, ottenendo:

20/19 = [(a+b)(a²-ab+b²)]/[(a+c)(a²-ac+c²)]

Le due frazioni sono equivalenti, e la prima è ridotta ai minimi termini; ciò implica che per ottenere la frazione a destra dell'uguale è necessario applicare la proprietà invariantiva alla frazione 20/19, moltiplicandone per n sia il numeratore che il denominatore. Ciò porta alle seguenti equazioni:

(a+b)(a²-ab+b²) = 20n
(a+c)(a²-ac+c²) = 19n

Ora ci sono due possibilità:

i) a+b = a+c = n, ma ciò non è possibile perché sarebbe b = c e di conseguenza anche i due "falsi quadrati" sarebbero uguali e ciò porterebbe ad una frazione apparente di valore 1 e non 20/19;

ii) a²-ab+b² = a²-ac+c² = n
Imposto un sistema di 3 equazioni in 3 incognite (a, b e c) in cui l'uguaglianza dei due "falsi quadrati" è la prima equazione mentre le altre 2 sono le seguenti:

a+b = 20
a+c = 19

Risolvendo il sistema trovo:

a = 13; b = 7; c = 6

valori che effettivamente soddisfano l'equazione di partenza.
Ripeto, non so se la mia soluzione sia sufficientemente rigorosa (probabilmente no!); qualcun altro ha provato a risolvere il quesito?
Grazie e buona serata

Hai ragione, gli stessi dubbi hanno iniziato a girarmi nel cervello questa mattina, soprattutto l'aver considerato solo due casi possibili è effettivamente troppo semplicistico.
Proverò a spingermi un po' oltre, sperando che nel frattempo qualcuno posti altre idee sulla soluzione del problema.