Finale nazionale 2018 quesito 4

Ribadiamo da sempre che sarebbe utile, in ogni caso, riportare il testo dell'esercizio. Così si evitano due problemi: il doverlo andare a ricercare e la possibilità di un qualche errore (il quesito non è il 4).

Il quesito è

I due cartelli segnaletici
La famiglia di Luca viaggia su una strada dritta che collega Mathville e Geocity, in direzione di Geocity. In questo trasferimento, ad un certo punto, passa davanti ai due cartelli che vedete in figura. Poi, dopo aver percorso altri km, passa davanti a due nuovi pannelli segnaletici che indicano in quel punto le distanze dalle due città. La sorpresa è che, confrontando tra loro queste due nuove distanze (numeri interi di km), ci si accorge che sono scritte con le stesse cifre.
A quale distanza da Geocity, al massimo, si trova adesso la famiglia di Luca?

La somma dei km è \( (103 + 18) \, km = 121 \, km \). Occorre dunque trovare due numeri di due cifre, uno il reverse dell'altro, che sommano a 121. Delle varie coppie, \( (29, 92), (38, 83), (47, 74), (56, 65) \), il numero massimo è proprio 92.

Il ragionamento precedente è tipicamente sufficiente per un gioco n 5, ma volendo essere più formali/precisi, si può considerare che, se scriviamo il primo numero come \( 10a + b \), allora il secondo, dovendo avere le stesse cifre e non potendo essere uguale (121 è dispari), deve essere \( 10b + a \). Sommando si ottiene \( 11 \, (a + b) = 121 \) e dunque \( a + b = 11 \). Dovendo massimizzare, si sceglie \( a = 9 \) e dunque \( b = 2 \).