Aiuto per esercizio di strategia

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19/03/2018 12:18 #338 da Nicolol
Ciao a tutti ragazzi, sto impazzendo su un esercizio della finale dei giochi matematici bocconi del 2007, il testo è il seguente:
Angelo e Desiderio hanno un gioco delle carte che
preferiscono di gran lunga rispetto agli altri. Mettono sul
tavolo (con le facce ben visibili) i quattro “assi”, i quattro
“2”, i quattro “3” e i quattro “4” e, a turno, prendono una
carta. Ad ogni “presa”, fanno la somma dei valori delle
carte ritirate dal tavolo fino a quel momento (l’”asso” vale
1 punto, il “2” due punti, il “3” tre punti e il “4” quattro
punti) sia da Angelo che da Desiderio: vince il primo che
raggiunge esattamente 21 punti o che obbliga il suo
avversario a superare questo punteggio.
La prima mossa tocca ad Angelo : può scegliere se far
cominciare Desiderio o se giocare per primo, prendendo
una carta.
Quale è la scelta migliore per Angelo, che lo porterà
sicuramente alla vittoria ?
(Scrivete il valore della prima carta presa da Angelo o
rispondete 0 se, per Angelo, è meglio far cominciare
Desiderio)
Non riesco a trovare per niente una strategia e soprattutto, qualcuno può dirmi ''in che modo bisogna ragionare'' per risolvere questo tipo di problemi?Mi piace un sacco la teoria dei giochi ma non riesco proprio a capire qualche strategia, grazie in anticipo!

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22/03/2018 19:04 - 23/03/2018 07:18 #340 da Alessandro Beverini
Angelo deve cominciare prendendo un 3

Comincio la dimostrazione verificando cosa succederebbe scegliendo un'altra carta

1) Se Angelo scegliesse un "2", in risposta Desiderio sceglierebbe un "4" in modo di portare il punteggio a 6
Dopo la seconda "presa" di Angelo, Desiderio sceglierebbe la carta che porta il punteggio a 11
Dopo la terza "presa" di Angelo, Desiderio sceglierebbe la carta che porta il punteggio a 16
Dopo la quarta "presa" di Angelo, Desiderio sceglierebbe la carta che porta il punteggio a 21 (...ottenendo cosi la vittoria)

2) Se Angelo scegliesse un "4", in risposta Desiderio sceglierebbe un "2" in modo di portare il punteggio a 6
Dopo la seconda "presa" di Angelo, Desiderio sceglierebbe la carta che porta il punteggio a 11
Dopo la terza "presa" di Angelo, Desiderio sceglierebbe la carta che porta il punteggio a 16
Dopo la quarta "presa" di Angelo, Desiderio sceglierebbe la carta che porta il punteggio a 21 (...ottenendo cosi la vittoria)

1) Se Angelo alla prima "presa" scegliesse un asso, in risposta Desiderio sceglierebbe un 4 in modo di portare il punteggio a 5
Se Angelo, a questo punto sceglie un 2, un 3 o un 4, Desiderio sceglie la carta che porta il punteggio a 11
(che, da quanto visto prima è una posizione vincente se raggiunta dopo 2 prese)
Se Angelo alla seconda "presa" scegliesse un asso, in risposta Desiderio sceglierebbe un 4 in modo di portare il punteggio a 10
Se Angelo, a questo punto sceglie un 2, un 3 o un 4, Desiderio sceglie la carta che porta il punteggio a 16
(che, da quanto visto prima è una posizione vincente se raggiunta dopo 3 prese)
Se Angelo alla terza "presa" scegliesse un asso, in risposta Desiderio sceglierebbe un 4 in modo di portare il punteggio a 15
Se Angelo, a questo punto sceglie un 2, un 3 o un 4, Desiderio sceglie la carta che porta il punteggio a 21 (...ottenendo cosi la vittoria)
Se Angelo alla terza "presa" scegliesse un asso, in risposta Desiderio sceglierebbe un 4 in modo di portare il punteggio a 20
Gli assi sono finiti, Angelo deve scegliere un 2, un 3 o un 4 (...supera i 21 punti e perde la partita)

Scegliendo 3 invece si vince, infatti:
se Desiderio sceglie un 1, Angelo sceglie un 2 e raggiunge una posizione vincente
(infatti il punteggio è 6 e ci sono almeno tre carte per ogni tipo)
se Desiderio sceglie un 2, Angelo sceglie un 1 e raggiunge una posizione vincente
(infatti il punteggio è 6 e ci sono almeno tre carte per ogni tipo)
se Desiderio sceglie un 4, Angelo sceglie un 4 e raggiunge una posizione vincente
(infatti il punteggio è 11 e ci sono almeno due carte per ogni tipo)
se Desiderio sceglie un 3, Angelo sceglie un 2 e ripetendo in modo analogo il ragionamento si verifica che Desiderio per non perdere deve scegliere ancora un 3
alla terza “presa” Angelo sceglie un 2 e ripetendo in modo analogo il ragionamento si verifica che Desiderio per non perdere deve scegliere un 3
alla quarta “presa” Angelo sceglie un 3 e ripetendo in modo analogo il ragionamento si verifica che Desiderio per non perdere deve scegliere un 2
Ora Angelo sceglie il 2
Ed ora se Desiderio sceglie un asso, Angelo prende un 2 e vince
Ed ora se Desiderio sceglie un 2, Angelo prende un asso e vince
I 3 sono esauriti
Se Desiderio prende un 4 supera i 21 punti e perde la partita
Ultima Modifica 23/03/2018 07:18 da Alessandro Beverini.
Ringraziano per il messaggio: Nicolol

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24/03/2018 21:42 #341 da nando
14 IL GIOCO DELLE CARTE
Nelle tabelle successive, scrivo nella prima riga le mie mosse (Angelo), nella seconda riga le sue mosse (Desiderio), con le possibili alternative tra loro equivalenti (quando è necessario in parentesi è scritto il valore delle carte tolte dal tavolo alle singole mosse).

1 (1) 7–8-9
5(4) 11 16 21
Perdo

1 (1) 6 (1) 11 (1) 16 (1)
5(4) 10(4) 15(4) 20 (4)
Perdo perché non ho più 1 a disposizione

Se io gioco 2 o 4, lui gioca successivamente 6 –11- 16 - 21 e vince

Se io gioco 3 e lui non risposte con 6 allora io gioco successivamente 6 – 11 – 16 –21 e vinco.

Se io gioco 3 e lui risposte con 6, io non gioco 8, lui gioca successivamente 11 – 16 –21 e vince.

Se io gioco 3 lui risponde con 6 ed io gioco 8:

3 (3) 8 (2) 11 (2) 16 21
6 (3) 9 (1) 12 – 13 – 14 - 15 17-18-19 -20
Vinco

3 (3) 8 (2) 11 (1) 16 21
6 (3) 10 (2) 12 - 13 –14 -15 17-18-19
Vinco

3 (3) 8 (2) 13 (2) 16 (2) 21
6 (3) 11 (3) 14 (1) 17-18-19
Vinco

3 (3) 8 (2) 13 (2) 18 (3)
6 (3) 11 (3) 15 (2) 19-20-22
Vinco

3 (3) 8 (2) 13 (2) 21(4)
6 (3) 11 (3) 17 (4)
Vinco

3 (3) 8 (2) 16 (4) 21
6 (3) 12 (4) 17-18-19-20
Vinco

3 (3) 8 (2) 16 (4) 21
6 (3) 12 (4) 17-18-19-20
Vinco
Giocando 3 Angelo è sicuro di poter vincere.
Ringraziano per il messaggio: Nicolol

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25/03/2018 18:31 #344 da Nicolol
Quindi in questi esercizi bisogna ragionare ''per assurdo''?

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25/03/2018 19:11 #345 da BraMo
Non necessariamente.

Non so se le due lunghissime "spieghe" ti hanno spaventato. Sono precise ed esaustive e rispondono certamente alla domanda "come si risolve questo quesito?", ma potrebbero non rispondere alla tua "in che modo bisogna ragionare?''.

Vorrei provare a perseguire questo secondo obiettivo, molto importante, e che ti permette probabilmente di risolvere molti altri esercizi di questo tipo.

Negli allenamenti che abbiamo preparato l'anno scorso era presente il seguente quesito:

I cubetti

Anna e Sara hanno a disposizione 2017 cubetti colorati.

Ognuna di loro, a turno, può prendere un numero di cubetti a scelta, da un minimo di 1 ad un massimo di 100. Vince chi prende l'ultimo cubetto.

Se Anna gioca per prima, quanti cubetti deve prendere per assicurarsi la vittoria? (rispondete 0 se pensate che Anna non abbia una strategia vincente)


Vuoi provare a risolverlo ? E una volta risolto vedrai che la strategia inizierà ad essere molto più chiara.

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