Semifinale 2007 es. 17/18

17. UN QUADRO ASTRATTO
Con una omotetia che non modifica i rapporti tra la figura originaria e la figura modificata, possiamo lavorare come se il triangolo fosse rettangolo
Prendiamo come unità di misura il lato del quadrato. Allora l’area del quadrato misura 1 e l ‘area del triangolo misura 49/12. Indichiamo con x il segmento AD e con x+1 il segmento AB. I triangoli ABC e ADE sono simili, allora BC=(x+1)/x.
Impostiamo l’equazione che risulta dal calcolo dell’area del triangolo ABC:
(x+1)2/2x=49/12 che risolta fornisce le due soluzioni reciproche x=6 e x=1/6.
Con x=6 risulta: AB=7 quindi il rapporto AD/AB (uguale al rapporto richiesto dal problema) è 6/7;
Con x=1/6 risulta: AB=7/6 quindi il rapporto AD/AB (uguale al rapporto richiesto dal problema) è 1/7.

18 UN’ANTICA FAMIGLIA
Con tre esempi possiamo verificare che il numero il numero R delle regioni interne, il numero S degli steccati ed il numero P dei picchetti sono legati dalla relazione:
R = S-P+1 (teorema di Eulero).

In un triangolo:
S=3 P=3 R=1
in un quadrilatero nel quale è disegnata una diagonale:
S=5 P=4 R=2
In un quadrilatero:
S=4 P=4 R=1

Il terzo esempio non rispetta le condizioni poste dal testo del problema perché si potrebbe porre un nuovo steccato in diagonale.
Sia n il numero di steccati per palo, x il numero di pali; il numero di steccati è nx/2 (ogni steccato congiunge due pali). Il numero di regioni, calcolato mediante il teorema di Eulero, è
R = nx/2-x+1
D’altra parte, tutti gli steccati interni dividono due proprietà, i tre esterni sono lati di una sola proprietà. Sottraendo 3 al doppio del numero degli steccati e dividendo il resto per 3 (ogni regione è un triangolo) si ottiene in modo diverso il numero delle regioni:
R = (nx-3)/3
Uguagliando le due espressioni che danno R si ricava
x = 12/(6-n) e quindi R = (5n-6)/(6-n).
L’unica soluzione maggiore di 10 è 19 (si ottiene con n = 5), pertanto il numero di figli maschi è 9.

Per provare che è possibile effettivamente disporre pali e steccati in tale modo, basta costruire il cosiddetto “grafo dell’icosaedro”.

Il numero di spostamenti deve essere un numero pari (per ogni mossa si fanno 2 spostamenti). Con 28 spostamenti ( 14 mosse) si portano tutte le pedine nella casella numero 2.
Nando