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Giochi Matematici Bocconi - Semifinale 2007 es. 17/18 - Giochi Matematici

Semifinale 2007 es. 17/18

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19/02/2018 22:14 #307 da FAN
Semifinale 2007 es. 17/18 è stato creato da FAN
Buongiorno a tutti, mi sono appena iscritto.
Mi sto preparando ai giochi di marzo cat. GP e ho dei problemi con gli esercizi 17 e 18 della semifinale 2007.
Qualcuno mi può aiutare sulla metodologia da seguire?
Grazie

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22/02/2018 00:07 #308 da Gabri
Risposta da Gabri al topic Semifinale 2007 es. 17/18
E' meglio riportare il testo dell'esercizio, Si tratta forse di questi?
17. IL QUADRO ASTRATTO
Al recente festival di matematica di Roma, il famoso pittore Paul Mathart ha esposto una sua opera di forma triangolare (vedi la figura che pure non rispetta le proporzioni). A tutti i visitatori che, incuriositi, gli chiedevano quale fosse mai il rapporto tra le misure dei lati AX e XY, Paul Mathart si è limitato a rispondere che il rapporto tra l'area del quadrato inserito nel triangolo e l'area di quest'ultimo era dato da 12/49. Quanto vale il rapporto AX/XY?

Per il numero 17 io lo risolverei in maniera scolastica, indicando con x il lato AX , y il lato AY e alfa l'angolo Y alla base del triangolo. Poi applicherei il teorema del triangolo rettangolo e farei il calcolo delle aree di cui è data la proporzione, si tratta poi di fare il calcolo.

18. UN'ANTICA FAMIGLIA
Luca Maria decide di lasciare in eredità ai figli (maschi e femmine) il suo campo, che ha forma triangolare. Per questo pianta dei picchetti nei vertici del triangolo e al suo interno, facendo in modo da non avere mai tre picchetti allineati. Unisce poi tutti i picchetti, a due a due, con degli steccati, non incrociandone mai due. Smette quando non può più piazzare steccati. Sappiamo inoltre che ogni picchetto è all'estremità dello stesso numero di steccati. Finito il lavoro, da una porzione di terreno a ognuno degli eredi. Sapendo che Luca Maria ha 10 figlie femmine, quanti figli maschi ha?

Questo lo risolverei in modo pratico, eseguendo le operazioni indicate, segnare punti, tracciare linee, controllare che la figura rispetti le richieste. Partirei con pochi punti, uno, tre ... in modo da impadronirmi del problema gradualmente e riconoscere le caratteristiche della figura, ad esempio simmetrie... . Buon lavoro
Allegati:

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24/02/2018 18:07 #321 da nando
Risposta da nando al topic Semifinale 2007 es. 17/18
17. UN QUADRO ASTRATTO
Con una omotetia che non modifica i rapporti tra la figura originaria e la figura modificata, possiamo lavorare come se il triangolo fosse rettangolo
Prendiamo come unità di misura il lato del quadrato. Allora l’area del quadrato misura 1 e l ‘area del triangolo misura 49/12. Indichiamo con x il segmento AD e con x+1 il segmento AB. I triangoli ABC e ADE sono simili, allora BC=(x+1)/x.
Impostiamo l’equazione che risulta dal calcolo dell’area del triangolo ABC:
(x+1)2/2x=49/12 che risolta fornisce le due soluzioni reciproche x=6 e x=1/6.
Con x=6 risulta: AB=7 quindi il rapporto AD/AB (uguale al rapporto richiesto dal problema) è 6/7;
Con x=1/6 risulta: AB=7/6 quindi il rapporto AD/AB (uguale al rapporto richiesto dal problema) è 1/7.

18 UN’ANTICA FAMIGLIA
Con tre esempi possiamo verificare che il numero il numero R delle regioni interne, il numero S degli steccati ed il numero P dei picchetti sono legati dalla relazione:
R = S-P+1 (teorema di Eulero).

In un triangolo:
S=3 P=3 R=1
in un quadrilatero nel quale è disegnata una diagonale:
S=5 P=4 R=2
In un quadrilatero:
S=4 P=4 R=1

Il terzo esempio non rispetta le condizioni poste dal testo del problema perché si potrebbe porre un nuovo steccato in diagonale.
Sia n il numero di steccati per palo, x il numero di pali; il numero di steccati è nx/2 (ogni steccato congiunge due pali). Il numero di regioni, calcolato mediante il teorema di Eulero, è
R = nx/2-x+1
D’altra parte, tutti gli steccati interni dividono due proprietà, i tre esterni sono lati di una sola proprietà. Sottraendo 3 al doppio del numero degli steccati e dividendo il resto per 3 (ogni regione è un triangolo) si ottiene in modo diverso il numero delle regioni:
R = (nx-3)/3
Uguagliando le due espressioni che danno R si ricava
x = 12/(6-n) e quindi R = (5n-6)/(6-n).
L’unica soluzione maggiore di 10 è 19 (si ottiene con n = 5), pertanto il numero di figli maschi è 9.

Per provare che è possibile effettivamente disporre pali e steccati in tale modo, basta costruire il cosiddetto “grafo dell’icosaedro”.

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05/03/2018 23:17 #326 da FAN
Risposta da FAN al topic Semifinale 2007 es. 17/18
Ok grazie, il 17 l'ho risolto (un po' a fatica) con entrambi i metodi. Presto ritenterò il 18.
Ora ho un nuovo problema che mi turba, n.10 della semifinale 2003: "Su un disco, diviso in sei
settori, sono disposte 21
pedine (come in figura).
Una mossa consiste nello
scegliere (esattamente)
due pedine qualsiasi sul
disco e spostare entrambe
dal settore dove sono
situate a uno dei due
settori vicini.
Quante mosse saranno necessarie, al minimo,
perché tutte le pedine siano nello stesso settore?" Ci sono 6 pedine nel settore 1, 4 nel 2, 4 nel 3, 1 nel 4, 4 nel 5 e 2 nel 6. La soluzione ufficiale è 14, ma a me viene in 13 mosse. Per me il settore più conveniente è l'1 che "costa" 25 spostamenti; con 2 spostamenti a mossa 13 mosse sono sufficienti.
Che ne pensate?
Grazie

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06/03/2018 11:56 #327 da nando
Risposta da nando al topic Semifinale 2007 es. 17/18
Il numero di spostamenti deve essere un numero pari (per ogni mossa si fanno 2 spostamenti). Con 28 spostamenti ( 14 mosse) si portano tutte le pedine nella casella numero 2.
Nando

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06/03/2018 16:02 #328 da FAN
Risposta da FAN al topic Semifinale 2007 es. 17/18
Ciao Nando!
Non sono d'accordo, o quantomeno non capisco.
Il fatto che ogni mossa comporti 2 spostamenti non significa che il numero di mosse debba essere pari.
Intanto con 25 spostamenti è possibile portare tutte le pedine nel settore 1, il che è meno dispendioso di 28 spostamenti per portarle nel settore 2.
Spostando, anche subito, la pedina singola dal settore 4 al settore 3, è poi possibile proseguire spostando ogni volta 2 pedine verso il settore 1 e chiudere con 13 mosse.

Esempio:
Mossa 1: 2 pedine da 6 (ne restano 0) a 1 (diventano 8); Mossa 2: 2 pedine da 5 (ne restano 2) a 6 (diventano 2);
Mossa 3: 2 pedine da 5 (ne restano 0) a 6 (diventano 4); Mossa 4: 2 pedine da 6 (ne restano 2) a 1 (diventano 10);
Mossa 5: 2 pedine da 6 (ne restano 0) a 1 (diventano 12); Mossa 6: 1 pedina da 4 (ne restano 0) a 3 (diventano temporaneamente 5) e poi 1 da 3 (ne restano 4) a 2 (diventano 5);
Mossa 7: 2 pedine da 3 (ne restano 2) a 2 (diventano 7); Mossa 8: 2 pedine da 3 (ne restano 0) a 2 (diventano 9);
Mossa 9: 2 pedine da 2 (ne restano 7) a 1 (diventano 14); Mossa 10: 2 pedine da 2 (ne restano 5) a 1 (diventano 16);
Mossa 11: 2 pedine da 2 (ne restano 3) a 1 (diventano 18); Mossa 12: 2 pedine da 2 (ne resta 1) a 1 (diventano 20);
Mossa 13: 1 pedina da 2 (ne restano 0) a 1 (diventano 21)

Dov'è il baco???

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