Ultimo finale 2016 ITA

Come andava fatto?

Dividete un triangolo equilatero in due triangoli in modo che questi abbiano tutti i loro lati misurati da un numero intero di cm.
Qual è, al minimo, la lunghezza del lato del triangolo iniziale?

Sia AB la base del triangolo e C il vertice opposto. Su AB si individui il punto P tale che CP è il segmento che divide il triangolo in due triangoli come indicato nel testo. Se poniamo AB=AC=BC=k, AP=x e CP=d, applicando il teorema di Carnot al triangolo APC troviamo l'equazione:
d^2=k^2+x^2-kx. (*)
Imponiamo dei vincoli al valore di d: esso sarà minore di k ma maggiore dell'altezza del triangolo, la quale, approssimando la radice quadrata di 3 a 1,732, vale circa 0,866k. Dunque:
k>d>0,866k. (**)
Ma poiché k e d sono entrambi interi, e quindi la loro differenza vale almeno 1, dalla (**) otteniamo che la differenza tra k e 0,866k dev'essere maggiore di 1, il ché porta a k>7,464. Dunque, k è un intero non inferiore a 8.
Se nella (*), procedendo per tentativi, si attribuisce a k, uno per volta, tali valori, si arriva alla soluzione, tenendo sempre presente che devono essere rispettate le condizioni d<k, x<k.
Posto k=8, il valore di d è imposto dalla (**), ed è d=7. Per cui la (*) diventa, con alcuni passaggi algebrici, un'equazione di secondo grado in x che ha come soluzioni x=3 ed x=5.
Riscontrato che k, d ed x hanno valori interi come richiesto, possiamo dire di aver trovato la soluzione che è k=8 cm.

Molto chiaro Gianluca grazie!
Non avevo scritto come lo avevo impostato Bramo semplicemente perchè non avevo idea di come impostarlo.

E di che, figùrati! E' un esercizio che mi è rimasto particolarmente in mente perché semplice nella sua enunciazione ma nel contempo suggestivo!