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Ultimo finale 2016 ITA
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31/05/2017 08:56 #55
da Apemath
Ultimo finale 2016 ITA è stato creato da Apemath
Come andava fatto?
Dividete un triangolo equilatero in due triangoli in modo che questi abbiano tutti i loro lati misurati da un numero intero di cm.
Qual è, al minimo, la lunghezza del lato del triangolo iniziale?
Dividete un triangolo equilatero in due triangoli in modo che questi abbiano tutti i loro lati misurati da un numero intero di cm.
Qual è, al minimo, la lunghezza del lato del triangolo iniziale?
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31/05/2017 23:14 #67
da BraMo
Risposta da BraMo al topic Ultimo finale 2016 ITA
Apemath, sarebbe interessante che ci raccontassi come hai affrontato tu il problema e quali difficoltà hai avuto.
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- Gianluca Mancuso
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01/06/2017 20:55 - 01/06/2017 22:49 #72
da Gianluca Mancuso
Risposta da Gianluca Mancuso al topic Ultimo finale 2016 ITA
Sia AB la base del triangolo e C il vertice opposto. Su AB si individui il punto P tale che CP è il segmento che divide il triangolo in due triangoli come indicato nel testo. Se poniamo AB=AC=BC=k, AP=x e CP=d, applicando il teorema di Carnot al triangolo APC troviamo l'equazione:
d^2=k^2+x^2-kx. (*)
Imponiamo dei vincoli al valore di d: esso sarà minore di k ma maggiore dell'altezza del triangolo, la quale, approssimando la radice quadrata di 3 a 1,732, vale circa 0,866k. Dunque:
k>d>0,866k. (**)
Ma poiché k e d sono entrambi interi, e quindi la loro differenza vale almeno 1, dalla (**) otteniamo che la differenza tra k e 0,866k dev'essere maggiore di 1, il ché porta a k>7,464. Dunque, k è un intero non inferiore a 8.
Se nella (*), procedendo per tentativi, si attribuisce a k, uno per volta, tali valori, si arriva alla soluzione, tenendo sempre presente che devono essere rispettate le condizioni d<k, x<k.
Posto k=8, il valore di d è imposto dalla (**), ed è d=7. Per cui la (*) diventa, con alcuni passaggi algebrici, un'equazione di secondo grado in x che ha come soluzioni x=3 ed x=5.
Riscontrato che k, d ed x hanno valori interi come richiesto, possiamo dire di aver trovato la soluzione che è k=8 cm.
d^2=k^2+x^2-kx. (*)
Imponiamo dei vincoli al valore di d: esso sarà minore di k ma maggiore dell'altezza del triangolo, la quale, approssimando la radice quadrata di 3 a 1,732, vale circa 0,866k. Dunque:
k>d>0,866k. (**)
Ma poiché k e d sono entrambi interi, e quindi la loro differenza vale almeno 1, dalla (**) otteniamo che la differenza tra k e 0,866k dev'essere maggiore di 1, il ché porta a k>7,464. Dunque, k è un intero non inferiore a 8.
Se nella (*), procedendo per tentativi, si attribuisce a k, uno per volta, tali valori, si arriva alla soluzione, tenendo sempre presente che devono essere rispettate le condizioni d<k, x<k.
Posto k=8, il valore di d è imposto dalla (**), ed è d=7. Per cui la (*) diventa, con alcuni passaggi algebrici, un'equazione di secondo grado in x che ha come soluzioni x=3 ed x=5.
Riscontrato che k, d ed x hanno valori interi come richiesto, possiamo dire di aver trovato la soluzione che è k=8 cm.
Ultima Modifica 01/06/2017 22:49 da Gianluca Mancuso. Motivo: Ho reso più rapido il procedimento esposto.
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09/06/2017 23:12 #90
da Apemath
Risposta da Apemath al topic Ultimo finale 2016 ITA
Molto chiaro Gianluca grazie!
Non avevo scritto come lo avevo impostato Bramo semplicemente perchè non avevo idea di come impostarlo.
Non avevo scritto come lo avevo impostato Bramo semplicemente perchè non avevo idea di come impostarlo.
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- Gianluca Mancuso
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10/06/2017 05:31 #99
da Gianluca Mancuso
Risposta da Gianluca Mancuso al topic Ultimo finale 2016 ITA
E di che, figùrati! E' un esercizio che mi è rimasto particolarmente in mente perché semplice nella sua enunciazione ma nel contempo suggestivo!
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