Es 12 finale ita 2016

Siano a, b, c, d, e i 5 numeri. Essi sono tutti diversi tra loro: se così non fosse, ad es. a=b, avremmo a+c+d=b+c+d, e almeno 2 delle somme indicate nei dati sarebbero uguali, invece sono tutte diverse. Stabiliamo dunque a<b<c<d<e. La somma minima non può che essere a+b+c, la massima non può che essere c+d+e. Quindi a+b+c=3; c+d+e=17. Sommando le due equazioni si ha: a+b+2c+d+e=20 (*)
Ora, i 10 totali forniti sono, in ordine sparso, i risultati di a+b+c, a+b+d, a+b+e, a+c+d, a+c+e, a+d+e, b+c+d, b+c+e, b+d+e, c+d+e. In queste 10 addizioni i 5 addendi a, b, c, d, e compaiono 6 volte ciascuno. Se dunque sommo tra loro le addizioni ottengo
6(a+b+c+d+e). Ma tale somma di somme, in base al testo del quesito, equivale alla somma dei 10 valori forniti, che fa 96. Dunque:
6(a+b+c+d+e)=96
Da cui a+b+c+d+e=16 (**)
Se alla (*) sottraggo la (**) ottengo c=4.
Poiché a+b+c=3, dev'essere a+b=-1. Analogamente, poiché c+d+e=17, dev'essere d+e=13. Nel rispetto della condizione c<d<e si hanno 2 possibilità: d=6, e=7 oppure d=5, e=8. Ipotizzo d=6, e=7. In tal caso, fra le 10 somme dovrei avere anche a+b+d=-1+6=5. Ma tale valore non c'è, quindi l'ipotesi d=6, e=7 è errata e, per esclusione: d=5, e=8.
Trovato il primo dei valori richiesti, dobbiamo ora trovare a.
Essendo a<b<c ed a+b=-1, si può avere a=-1, b=0 oppure a=-2, b=1 oppure a=-4, b=3 oppure a=-3, b=2.
Ma tra i valori dati mancano 5+8-1=12, 4+8+1=13, 4+8-4=8, il ché mi porta a scartare le prime 3 ipotesi. Per esclusione, a=-3 e b=2. E' facile a questo punto verificare la correttezza dei valori trovati. Dunque la risposta da fornire è: a=-3, e=8.

nando ha scritto: Non riesco ad inserire il file con la spiegazione, ci riproverò

Caro Nando, direi che a questo punto non è più necessario!

Grazie mille Gianluca. Tutto molto chiaro!

Apemath ha scritto: Grazie mille Gianluca. Tutto molto chiaro!

Di niente, è un piacere!

Il procedimento presentato da Nando, più rapido del mio, presume che, posto A>B>C>D>E, la somma A+B+D sia superiore a tutte le altre eccetto A+B+C. Ciò è dimostrabile per semplice comparazione tra gli addendi di A+B+D con quelli delle altre 9 somme. Tuttavia ho voluto presentare un procedimento che prescindesse da considerazioni di questo tipo, per non trarre in inganno il solutore, che potrebbe essere indotto a pensare che comparazioni di questo tipo possano essere fatte per tutte le 10 somme.
Di fatto, solo le due somme più alte e le due più basse possono essere collocate in ordine. Delle altre non è possibile determinare la collocazione. Ad esempio, dato che le prime due somme in ordine decrescente sono A+B+C ed A+B+D, si potrebbe pensare che la terza nell'ordine sia A+B+E, invece nel nostro caso è B+C+D.
Naturalmente, il solutore attento non cadrebbe in questo "tranello", ma è importante, in gara, darsi dei criteri di procedimento compatibili con le proprie abilità: meglio seguire un procedimento un po' più lungo ma nel quale il solutore sa di essere più ferrato, invece di addentrarsi in percorsi che potrebbero toccare dei nervi scoperti nella preparazione del competitor. D'altro canto, nessuno può essere ugualmente bravo in tutto, e ciascuno di noi ha i quesiti "preferiti" e quelli che proprio fa fatica a digerire!!!