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Ends of finale italiana 2014
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01/06/2017 06:41 #68
da Apemath
Risposta da Apemath al topic Ends of finale italiana 2014
Capito. Scusatemi se non ho riportato il testo del problema per alcuni esercizi e non ho indicato le difficoltá riscontrate.
Da ora saró piú chiara e seguirò le vostre indicazioni. grazie
Da ora saró piú chiara e seguirò le vostre indicazioni. grazie
Si prega Accedi a partecipare alla conversazione.
- Gianluca Mancuso
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06/06/2017 09:50 - 06/06/2017 09:53 #75
da Gianluca Mancuso
Risposta da Gianluca Mancuso al topic Ends of finale italiana 2014
Ciao, Apemath!
Sono molto affezionato alla finale del 2014, per ovvie ragioni!!!
In particolare, ricordo il quesito 16 come un capolavoro di logica. Mi è piaciuto moltissimo!
Qui però voglio parlarti del n. 18 (A caccia di fantasmi) il cui testo è in allegato a questo post.
Procederemo per enumerazione dei casi.
Il testo ci dice già cosa succede per N=2, 3, 4 e 5 (e sfrutteremo queste preziose informazioni!). Ma per capire cosa succede per N=7, dobbiamo prima capire cosa succede per N=6 (Figura 1). Consideriamo i 2N=12 punti di tale caso, e numeriamoli, partendo da un punto qualsiasi, da 1 a 12 procedendo in senso orario. Il cacciatore che spara ad un fantasma equivale ad una corda sottesa tra due di questi punti. Prendiamo in esame il punto 1. Esso non potrà essere congiunto con una corda con un punto numerato con un numero dispari (per brevità, di seguito diremo "punto dispari" o "punto pari"), perché altrimenti rimarrà un numero dispari di punti in ciascuno dei due archi in cui verrebbe divisa la circonferenze, e per congiungere tutti i punti a coppie diverrebbe necessario tracciare una corda che incrocia quella sottesa dal punto 1, contravvenendo così alle condizioni imposte dal quesito.
Dunque, il punto 1 verrà congiunto tramite corde solo con punti pari.
Ci sono dunque sei possibilità, ossia che 1 si congiunga con 2, 4, 6, 8, 10 oppure 12. Prendiamole in esame una per una e troveremo tutti i possibili casi.
Iniziamo congiungendo 1 con 8 (Figura 2). Notiamo che la corda divide la circonferenza in due archi, ciascuno contenente un numero pari di punti che devono congiungersi a due a due tra loro. In pratica, si riscontra che ciascuno di tali archi si comporta come una circonferenza avente le caratteristiche descritte dal testo del quesito con N pari alla metà dei punti presenti nell'arco. A sinistra della corda, ad esempio, ci sono 4 punti, corrispondenti a due coppie. Quindi in tale arco si potranno delineare tante strategie quante ce ne sono in una circonferenza per N=2. Il testo ci dice che esse sono 2. A destra della corda abbiamo invece 6 punti, quindi l'arco si comporta come una circonferenza che abbia N=3. Nell'arco si potranno dunque delineare 5 strategie. Poiché le strategie dell'arco di destra sono indipendenti da quelle dell'arco di sinistra, le strategie complessive attuabili quando il punto 1 è congiunto con 8 sono 2*5=10.
Passiamo ora a vedere cosa succede se 1 si congiunge con 6 (Figura 3). Notiamo che siamo nella stessa situazione del caso precedente, con l'unica, ininfluente differenza che stavolta l'arco con 6 punti è a sinistra e quello con 4 a destra. In assoluta analogia col caso appena esaminato, possiamo dire che anche qui abbiamo 10 strategie.
Congiungiamo (Figura 4) 1 con 4 (ma abbiamo ormai capito che, stante la simmetria, le conclusioni a cui perverremo varranno anche nel caso in cui 1 è congiunto con 10). Da una parte abbiamo 2 punti, corrispondenti ad N=1, per cui una sola strategia. Dall'altra abbiamo 8 punti, da cui N=4, a cui corrispondono, come dice il testo, 14 strategie. Dunque, avremo un totale di 1*14=14 strategie.
Infine (Figura 5), congiungiamo 1 con 2 (ma è lo stesso se congiungessimo con 12). In un arco non ci sono punti, il ché equivale algebricamente ad un'unica strategia, che non prevede alcuna corda tracciata nell'arco. Nell'altro ce ne sono 10, per cui N=5, valore a cui corrispondono (ce lo dice il testo) 42 strategie. Quindi, in questo caso avremo 1*42=42 strategie.
Riassumiamo sinteticamente i risultati trovati nella figura 6. Contando tutte le strategie, ne troviamo 132.
Si può ragionare per N=7 in maniera assolutamente analoga. Numerando i punti da 1 a 14 con lo stesso criterio, abbiamo che 1 può congiungersi anche in questo caso solo con punti pari, ossia con 2, 4, 6, 8, 10, 12 e 14. In ogni caso, ciascuno dei due archi in cui si dividerà la figura si comporta come una circonferenza con N pari alla metà dei punti presenti nell'arco. Da qui in poi lascio a voi il piacere di disegnare i vari casi!
Se congiungiamo 1 con 8, avremo la circonferenza divisa in due archi contenenti ciascuno 6 punti, quindi N=3 che corrisponde a 5 diverse strategie per ciascun arco, da cui avremo 5*5=25 strategie complessive.
Congiungendo 1 con 6 (ma lo stesso vale se lo congiungiamo con 10), abbiamo da una parte 4 punti (N=2), per un totale di 2 strategie, dall'altra ne avremo 8 (N=4), a cui corrispondono 14 strategie. Quindi 2*14=28.
Congiungendo 1 con 4 (ma lo stesso vale se lo congiungiamo con 12), abbiamo da una parte 2 punti (N=1), a cui corrisponde un'unica strategia, dall'altra ne avremo 10 (N=5), a cui corrispondono 42 strategie. Quindi abbiamo un totale di 1*42=42 strategie.
Congiungendo 1 con 2 (ma lo stesso vale se lo congiungiamo con 14), abbiamo da una parte 0 punti, e di conseguenza un'unica strategia, dall'altra ne avremo 12, (N=6) a cui corrispondono, come abbiamo appena calcolato, 132 strategie.
Riassumiamo i risultati in forma grafica nell'immagine 7 e contiamo le strategie: ne abbiamo 429. E 429 è proprio la risposta al quesito!
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Sono molto affezionato alla finale del 2014, per ovvie ragioni!!!
In particolare, ricordo il quesito 16 come un capolavoro di logica. Mi è piaciuto moltissimo!
Qui però voglio parlarti del n. 18 (A caccia di fantasmi) il cui testo è in allegato a questo post.
Procederemo per enumerazione dei casi.
Il testo ci dice già cosa succede per N=2, 3, 4 e 5 (e sfrutteremo queste preziose informazioni!). Ma per capire cosa succede per N=7, dobbiamo prima capire cosa succede per N=6 (Figura 1). Consideriamo i 2N=12 punti di tale caso, e numeriamoli, partendo da un punto qualsiasi, da 1 a 12 procedendo in senso orario. Il cacciatore che spara ad un fantasma equivale ad una corda sottesa tra due di questi punti. Prendiamo in esame il punto 1. Esso non potrà essere congiunto con una corda con un punto numerato con un numero dispari (per brevità, di seguito diremo "punto dispari" o "punto pari"), perché altrimenti rimarrà un numero dispari di punti in ciascuno dei due archi in cui verrebbe divisa la circonferenze, e per congiungere tutti i punti a coppie diverrebbe necessario tracciare una corda che incrocia quella sottesa dal punto 1, contravvenendo così alle condizioni imposte dal quesito.
Dunque, il punto 1 verrà congiunto tramite corde solo con punti pari.
Ci sono dunque sei possibilità, ossia che 1 si congiunga con 2, 4, 6, 8, 10 oppure 12. Prendiamole in esame una per una e troveremo tutti i possibili casi.
Iniziamo congiungendo 1 con 8 (Figura 2). Notiamo che la corda divide la circonferenza in due archi, ciascuno contenente un numero pari di punti che devono congiungersi a due a due tra loro. In pratica, si riscontra che ciascuno di tali archi si comporta come una circonferenza avente le caratteristiche descritte dal testo del quesito con N pari alla metà dei punti presenti nell'arco. A sinistra della corda, ad esempio, ci sono 4 punti, corrispondenti a due coppie. Quindi in tale arco si potranno delineare tante strategie quante ce ne sono in una circonferenza per N=2. Il testo ci dice che esse sono 2. A destra della corda abbiamo invece 6 punti, quindi l'arco si comporta come una circonferenza che abbia N=3. Nell'arco si potranno dunque delineare 5 strategie. Poiché le strategie dell'arco di destra sono indipendenti da quelle dell'arco di sinistra, le strategie complessive attuabili quando il punto 1 è congiunto con 8 sono 2*5=10.
Passiamo ora a vedere cosa succede se 1 si congiunge con 6 (Figura 3). Notiamo che siamo nella stessa situazione del caso precedente, con l'unica, ininfluente differenza che stavolta l'arco con 6 punti è a sinistra e quello con 4 a destra. In assoluta analogia col caso appena esaminato, possiamo dire che anche qui abbiamo 10 strategie.
Congiungiamo (Figura 4) 1 con 4 (ma abbiamo ormai capito che, stante la simmetria, le conclusioni a cui perverremo varranno anche nel caso in cui 1 è congiunto con 10). Da una parte abbiamo 2 punti, corrispondenti ad N=1, per cui una sola strategia. Dall'altra abbiamo 8 punti, da cui N=4, a cui corrispondono, come dice il testo, 14 strategie. Dunque, avremo un totale di 1*14=14 strategie.
Infine (Figura 5), congiungiamo 1 con 2 (ma è lo stesso se congiungessimo con 12). In un arco non ci sono punti, il ché equivale algebricamente ad un'unica strategia, che non prevede alcuna corda tracciata nell'arco. Nell'altro ce ne sono 10, per cui N=5, valore a cui corrispondono (ce lo dice il testo) 42 strategie. Quindi, in questo caso avremo 1*42=42 strategie.
Riassumiamo sinteticamente i risultati trovati nella figura 6. Contando tutte le strategie, ne troviamo 132.
Si può ragionare per N=7 in maniera assolutamente analoga. Numerando i punti da 1 a 14 con lo stesso criterio, abbiamo che 1 può congiungersi anche in questo caso solo con punti pari, ossia con 2, 4, 6, 8, 10, 12 e 14. In ogni caso, ciascuno dei due archi in cui si dividerà la figura si comporta come una circonferenza con N pari alla metà dei punti presenti nell'arco. Da qui in poi lascio a voi il piacere di disegnare i vari casi!
Se congiungiamo 1 con 8, avremo la circonferenza divisa in due archi contenenti ciascuno 6 punti, quindi N=3 che corrisponde a 5 diverse strategie per ciascun arco, da cui avremo 5*5=25 strategie complessive.
Congiungendo 1 con 6 (ma lo stesso vale se lo congiungiamo con 10), abbiamo da una parte 4 punti (N=2), per un totale di 2 strategie, dall'altra ne avremo 8 (N=4), a cui corrispondono 14 strategie. Quindi 2*14=28.
Congiungendo 1 con 4 (ma lo stesso vale se lo congiungiamo con 12), abbiamo da una parte 2 punti (N=1), a cui corrisponde un'unica strategia, dall'altra ne avremo 10 (N=5), a cui corrispondono 42 strategie. Quindi abbiamo un totale di 1*42=42 strategie.
Congiungendo 1 con 2 (ma lo stesso vale se lo congiungiamo con 14), abbiamo da una parte 0 punti, e di conseguenza un'unica strategia, dall'altra ne avremo 12, (N=6) a cui corrispondono, come abbiamo appena calcolato, 132 strategie.
Riassumiamo i risultati in forma grafica nell'immagine 7 e contiamo le strategie: ne abbiamo 429. E 429 è proprio la risposta al quesito!
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Ultima Modifica 06/06/2017 09:53 da Gianluca Mancuso. Motivo: Esigenze di impaginazione.
Ringraziano per il messaggio: Mauro
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06/06/2017 12:25 #76
da Mauro
Risposta da Mauro al topic Ends of finale italiana 2014
bella spiegazione ... la dimostrazione che non serviva sapere la serie di catalan per risolverlo
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- Gianluca Mancuso
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06/06/2017 13:23 #77
da Gianluca Mancuso
Risposta da Gianluca Mancuso al topic Ends of finale italiana 2014
E difatti io non la conoscevo quando affrontai il quesito in gara. E lo risolsi con questo procedimento, col risultato che sapete!
Grazie, Mauro!
Grazie, Mauro!
Ringraziano per il messaggio: Mauro
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07/06/2017 02:01 - 07/06/2017 18:21 #80
da BraMo
Risposta da BraMo al topic Ends of finale italiana 2014
Tutto bello, ma la triangolarizzazione di un poligono convesso è uno dei primissimi esempi di utilizzo dei numeri catalani (anche Wikipedia lo dà come primo:
Numero di Catalan
). Io personalmente l'ho utilizzato, e in tal modo il quesito si risolve in due minuti ed in modo rapido ed elegante: \( C(n) = \frac{1}{n + 1} \binom{2 \, n}{n} \) per \( n = 7 \) dà immediatamente \( C(7) = \frac{1}{8} \binom{14}{7} = 429 \).
Ottimo comunque raccontare metodi alternativi: utili per capire e spiegare, un po' meno utili in gara.
Ottimo comunque raccontare metodi alternativi: utili per capire e spiegare, un po' meno utili in gara.
Ultima Modifica 07/06/2017 18:21 da BraMo.
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07/06/2017 07:57 #82
da Gianluca Mancuso
Risposta da Gianluca Mancuso al topic Ends of finale italiana 2014
Eh, ma quando dei numeri di Catalan non conosci neanche l'esistenza, e in gara ti trovi un quesito così, qualcosa ti devi pur inventare! In questo senso mi permetto di dissentire sul fatto che metodi alternativi di stampo più "basico" non siano utili: vero è che risolverlo in due minuti è meglio che risolverlo in un quarto d'ora, ma è altrettanto vero che risolverlo in un quarto d'ora è meglio che non risolverlo affatto!
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