Ends of finale italiana 2014

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31/05/2017 22:30 #64 da nando
Risposta da nando al topic Ends of finale italiana 2014
17 L’eredità
Amerigo e Renato hanno ricevuto in eredità il terreno che vedete in figura e il cui perimetro è minore di 10.000 decimetri. Se lo sono diviso in due parti che hanno la forma di un triangolo rettangolo il cui lato comune ha una lunghezza di 2014 dm.
Qual è esattamente il perimetro dell’intero terreno?


TERNA PITAGORICA GENERALIZZATA
Dati due numeri interi a, b con a>b
1° cateto: a^2-b^2,
2° cateto: 2ab,
ipotenusa: a^2+b^2
La scomposizione i fattori di 2014 é: 2x19x53
1° triangolo rettangolo: a=53, b=19; 1° cateto: 53^2-19^2,=2809-361=2448, 2° cateto: 2x53x19=2014, ipotenusa: 53^2+19^2=2809+361=3170

2° triangolo rettangolo: ipotenusa=2014=2x19x53=2x19x(49+4)=2x19x(7^2+2^2), ............

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31/05/2017 22:59 #65 da BraMo
Risposta da BraMo al topic Ends of finale italiana 2014
Sono d'accordo con `nando' sull'utilità di riportare i testi dei quesiti, altrimenti non si capisce nulla. Chi legge non dovrebbe andare a cercarseli su questo sito (non ancora in archivio) o su altri, e la discussione dovrebbe essere autocontenuta. Senza contare che alcuni potrebbero non sapere dove cercare, oppure addirittura non conoscere alcune delle gare citate: non vogliamo che il forum sia letto e capito solo dai partecipanti, giusto ?

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31/05/2017 23:11 - 23/07/2017 11:06 #66 da redazione
Confermiamo l'utilità di riportare il testo dei quesiti proposti. Sarà anzi una delle regole che inseriremo nel Forum e che pregheremo di rispettare.

Un'altra regola prevederà di sconsigliare semplici dichiarazioni di interesse su un gruppo di giochi, altrimenti sarebbe lecito chiedere, perché interessati, tutti i questiti di una certa gara o magari gli ultimi due quesiti di tutte le gare del 2017. È certamente preferibile, all'interno di un topic, riferirsi ad un unico quesito alla volta, magari provando anche a descrivere quali difficoltà si sono incontrate tentando di risolverlo.

La Redazione.
Ultima Modifica 23/07/2017 11:06 da redazione.

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01/06/2017 06:41 #68 da Apemath
Risposta da Apemath al topic Ends of finale italiana 2014
Capito. Scusatemi se non ho riportato il testo del problema per alcuni esercizi e non ho indicato le difficoltá riscontrate.
Da ora saró piú chiara e seguirò le vostre indicazioni. grazie

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06/06/2017 09:50 - 06/06/2017 09:53 #75 da Gianluca Mancuso
Ciao, Apemath!
Sono molto affezionato alla finale del 2014, per ovvie ragioni!!! :)
In particolare, ricordo il quesito 16 come un capolavoro di logica. Mi è piaciuto moltissimo!
Qui però voglio parlarti del n. 18 (A caccia di fantasmi) il cui testo è in allegato a questo post.

Procederemo per enumerazione dei casi.
Il testo ci dice già cosa succede per N=2, 3, 4 e 5 (e sfrutteremo queste preziose informazioni!). Ma per capire cosa succede per N=7, dobbiamo prima capire cosa succede per N=6 (Figura 1). Consideriamo i 2N=12 punti di tale caso, e numeriamoli, partendo da un punto qualsiasi, da 1 a 12 procedendo in senso orario. Il cacciatore che spara ad un fantasma equivale ad una corda sottesa tra due di questi punti. Prendiamo in esame il punto 1. Esso non potrà essere congiunto con una corda con un punto numerato con un numero dispari (per brevità, di seguito diremo "punto dispari" o "punto pari"), perché altrimenti rimarrà un numero dispari di punti in ciascuno dei due archi in cui verrebbe divisa la circonferenze, e per congiungere tutti i punti a coppie diverrebbe necessario tracciare una corda che incrocia quella sottesa dal punto 1, contravvenendo così alle condizioni imposte dal quesito.
Dunque, il punto 1 verrà congiunto tramite corde solo con punti pari.
Ci sono dunque sei possibilità, ossia che 1 si congiunga con 2, 4, 6, 8, 10 oppure 12. Prendiamole in esame una per una e troveremo tutti i possibili casi.
Iniziamo congiungendo 1 con 8 (Figura 2). Notiamo che la corda divide la circonferenza in due archi, ciascuno contenente un numero pari di punti che devono congiungersi a due a due tra loro. In pratica, si riscontra che ciascuno di tali archi si comporta come una circonferenza avente le caratteristiche descritte dal testo del quesito con N pari alla metà dei punti presenti nell'arco. A sinistra della corda, ad esempio, ci sono 4 punti, corrispondenti a due coppie. Quindi in tale arco si potranno delineare tante strategie quante ce ne sono in una circonferenza per N=2. Il testo ci dice che esse sono 2. A destra della corda abbiamo invece 6 punti, quindi l'arco si comporta come una circonferenza che abbia N=3. Nell'arco si potranno dunque delineare 5 strategie. Poiché le strategie dell'arco di destra sono indipendenti da quelle dell'arco di sinistra, le strategie complessive attuabili quando il punto 1 è congiunto con 8 sono 2*5=10.
Passiamo ora a vedere cosa succede se 1 si congiunge con 6 (Figura 3). Notiamo che siamo nella stessa situazione del caso precedente, con l'unica, ininfluente differenza che stavolta l'arco con 6 punti è a sinistra e quello con 4 a destra. In assoluta analogia col caso appena esaminato, possiamo dire che anche qui abbiamo 10 strategie.
Congiungiamo (Figura 4) 1 con 4 (ma abbiamo ormai capito che, stante la simmetria, le conclusioni a cui perverremo varranno anche nel caso in cui 1 è congiunto con 10). Da una parte abbiamo 2 punti, corrispondenti ad N=1, per cui una sola strategia. Dall'altra abbiamo 8 punti, da cui N=4, a cui corrispondono, come dice il testo, 14 strategie. Dunque, avremo un totale di 1*14=14 strategie.
Infine (Figura 5), congiungiamo 1 con 2 (ma è lo stesso se congiungessimo con 12). In un arco non ci sono punti, il ché equivale algebricamente ad un'unica strategia, che non prevede alcuna corda tracciata nell'arco. Nell'altro ce ne sono 10, per cui N=5, valore a cui corrispondono (ce lo dice il testo) 42 strategie. Quindi, in questo caso avremo 1*42=42 strategie.
Riassumiamo sinteticamente i risultati trovati nella figura 6. Contando tutte le strategie, ne troviamo 132.

Si può ragionare per N=7 in maniera assolutamente analoga. Numerando i punti da 1 a 14 con lo stesso criterio, abbiamo che 1 può congiungersi anche in questo caso solo con punti pari, ossia con 2, 4, 6, 8, 10, 12 e 14. In ogni caso, ciascuno dei due archi in cui si dividerà la figura si comporta come una circonferenza con N pari alla metà dei punti presenti nell'arco. Da qui in poi lascio a voi il piacere di disegnare i vari casi!
Se congiungiamo 1 con 8, avremo la circonferenza divisa in due archi contenenti ciascuno 6 punti, quindi N=3 che corrisponde a 5 diverse strategie per ciascun arco, da cui avremo 5*5=25 strategie complessive.
Congiungendo 1 con 6 (ma lo stesso vale se lo congiungiamo con 10), abbiamo da una parte 4 punti (N=2), per un totale di 2 strategie, dall'altra ne avremo 8 (N=4), a cui corrispondono 14 strategie. Quindi 2*14=28.
Congiungendo 1 con 4 (ma lo stesso vale se lo congiungiamo con 12), abbiamo da una parte 2 punti (N=1), a cui corrisponde un'unica strategia, dall'altra ne avremo 10 (N=5), a cui corrispondono 42 strategie. Quindi abbiamo un totale di 1*42=42 strategie.
Congiungendo 1 con 2 (ma lo stesso vale se lo congiungiamo con 14), abbiamo da una parte 0 punti, e di conseguenza un'unica strategia, dall'altra ne avremo 12, (N=6) a cui corrispondono, come abbiamo appena calcolato, 132 strategie.
Riassumiamo i risultati in forma grafica nell'immagine 7 e contiamo le strategie: ne abbiamo 429. E 429 è proprio la risposta al quesito!

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Allegati:
Ultima Modifica 06/06/2017 09:53 da Gianluca Mancuso. Motivo: Esigenze di impaginazione.
Ringraziano per il messaggio: Mauro

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06/06/2017 12:25 #76 da Mauro
Risposta da Mauro al topic Ends of finale italiana 2014
bella spiegazione ... la dimostrazione che non serviva sapere la serie di catalan per risolverlo

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