Soluzioni semifinale 2017

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21/05/2017 20:47 #42 da nando
Risposta da nando al topic Soluzioni semifinale 2017
SEMIFINALE 2017
GIOCO NUMERO 17
UNA COMPOSIZIONE ARTISTICA
TESTO
I cerchi che vedete in figura sono tra loro tangenti. Ne vedete 6, bianchi, uguali tra di loro. In mezzo, c’è un disco centrale che è la riproduzione identica (in piccolo) di tutta la figura. E così via, sempre più in piccolo.
Quale frazione dell’intera figura è quella più scura?

SOLUZIONE
È sufficiente calcolare il rapporto tra la misura della parte scura della corona circolare più esterna e la misura della stessa corona circolare. Prendendo come unità di misura il raggio del cerchio interno della corona circolare, il raggio del cerchio esterno misura 3.
L’area della corona circolare misura (3^2 - 1^2) ∏ = 8 ∏
L’area dei sei cerchi bianchi misura: 6( 1^2∏) = 6 ∏.
Per differenza la parte grigia misura 2∏
Il rapporto richiesto: (2∏)/(8∏) vale 1/4

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21/05/2017 21:32 #43 da Apemath
Risposta da Apemath al topic Soluzioni semifinale 2017
Grazie x la soluzione Nando.
Non capisco però perchè il problema é equivalente calcolare il rapporto tra la misura della parte scura della corona circolare più esterna e la misura della stessa corona circolare.

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07/06/2017 07:22 #81 da Gianluca Mancuso
Perché la figura è formata da infinite forme (le corone circolari coi sei "buchi" tangenti fra loro e tangenti ai bordi della corona, appunto) simili tra loro ed innestate l'una dentro l'altra. Essendo esse simili tra loro, in ciascuna il rapporto fra area scura e area totale si mantiene costante, e quindi basta calcolare tale rapporto per una sola di queste forme, ed il valore trovato sarà il medesimo che per l'intera figura. Ovviamente, la forma in cui è più facile calcolare tale rapporto è la più esterna, e i calcoli proposti da Nando conducono al risultato che è, appunto, 1/4.

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09/06/2017 23:14 #92 da Apemath
Risposta da Apemath al topic Soluzioni semifinale 2017
Grazie x il chiarimento Gianluca! :)

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10/06/2017 05:33 #100 da Gianluca Mancuso
Di niente! Confesso che in gara dovetti pensarci qualche minuto prima di rendermi conto di questa proprietà della figura e quindi procedere come indicato da Nando! L'ho affrontato per ultimo e questo è sempre un rischio, perché non hai più la stessa lucidità che con i primi esercizi. Ma per fortuna è andata bene!

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11/03/2019 23:27 #529 da Gianluca Mancuso
Beh, non posso che rimandarti al n. 4 di Prisma, che riportava nell'allegato centrale le soluzioni (ben) commentate di tutti i quesiti delle ultime tre edizioni della semifinale. E mi aspetto che in prossimità della finale Prisma ci faccia un altro regalo simile!!!

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