I due più difficili
Le statistiche nazionali relative all'edizione 2016 dei Giochi d'Autunno, dicono che la media di esercizi risolti correttamente tra tutti i 162.450 concorrenti è 2,14 esercizi sugli 8 proposti. Voglio allora esaminare, per ogni categoria, i due problemi che hanno incontrato maggiori difficoltà nella loro soluzione, estraendo i dati da un campione casuale e significativo.
Per ogni categoria riporto, in valore assoluto e in percentuale, le frequenze di soluzioni esatte distinte esercizio per esercizio.
Categoria C1 (prima e seconda secondaria I grado)
Ampiezza del campione: 6477 concorrenti
Il problemi che sono risultati "più difficili" sono il numero 7 risolto correttamente da 225 concorrenti (3,5%) e il numero 3 risolto da 455 concorrenti (7,0%). Per ognuno riporto il testo e la sua soluzione.
7. Codici segreti
TATA è il codice che nasconde un numero naturale; OTITE è il codice che nasconde il suo doppio. (Tenete presente che a una cifra corrisponde sempre la stessa lettera e che a due cifre diverse corrispondono lettere diverse; tenete anche presente che nessun numero comincia con 0).
Qual è, al minimo, il valore numerico di OTITE?
SOLUZIONE COMMENTATA
Conviene scrivere la moltiplicazione per 2 (il doppio) come somma di due numeri uguali e incolonnare opportunamente:
| T | A | T | A | + | |
| T | A | T | A | = | |
| O | T | I | T | E |
Alla lettera O si può associare solo la cifra 1 (il riporto dalla somma di due cifre uguali che devono allora valere almeno 5). Osservando la cifra delle decine (e delle migliaia) dei due addendi è uguale alla cifra delle decine (delle migliaia) della somma si deduce che tale circostanza si verifica solo per la cifra 9 e se c'è il riporto dalla colonna delle unità (delle centinaia).
| 9 | A | 9 | A | + | |
| 9 | A | 9 | A | = | |
| 1 | 9 | I | 9 | E |
Alla lettera E deve corrispondere una cifra pari mentre alla lettera I deve corrispondere una cifra dispari, diversa da 1.
Alla lettera A si possono assegnare le cifre 6, 7, o 8 a cui corrispondono rispettivamente:
| 9 | 6 | 9 | 6 | + | |
| 9 | 6 | 9 | 6 | = | |
| 1 | 9 | 3 | 9 | 2 |
| 9 | 7 | 9 | 7 | + | |
| 9 | 7 | 9 | 7 | = | |
| 1 | 9 | 5 | 9 | 4 |
| 9 | 8 | 9 | 8 | + | |
| 9 | 8 | 9 | 8 | = | |
| 1 | 9 | 7 | 9 | 6 |
Delle tre possibili soluzioni era richiesta solo quella avente il valore minimo: 19392.
7. Quadrati per tutti i gusti
Quanti quadrati vedete nella griglia di 4×4 caselle quadrate della figura?
SOLUZIONE COMMENTATA
È problema è un classico della matematica ricreativa e si presta ad una simpatica generalizzazione.
Quanti quadrati del tipo 1×1 si vedono? 16
Quanti quadrati del tipo 2×2 si vedono? 9
Quanti quadrati del tipo 3×3 si vedono? 4
Quanti quadrati del tipo 4×4 si vedono? 1
Complessivamente di vedono 30 quadrati.
Osservando i numeri in grassetto si scopre la generalizzazione del problema.
Nella prima riga si legge 1×1 e nella quarta riga si legge: 1, nella seconda riga 2×2 e nella terza 4, nella terza riga 3×3 e nella seconda 9, infine nella quarta riga si legge 4×4 e nella prima 16.
In una griglia 4×4 il numero dei quadrati che si vedono è la somma dei primi quattro numeri quadrati: 1 + 4 + 9 + 16 = 30.
Se la griglia fosse di 5×5 allora si vedrebbero: 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55 quadrati, la somma dei primi cinque numeri quadrati.