La corsa

Avevo già accennato in un'altra chiacchierata alle difficoltà che tutti possiamo trovare nell'affrontare i problemi dei Giochi Matematici: è questa proprio la caratteristica dei testi che ci obbligano a cercare la migliore strategia, anche se nessuno sa dirci quale sarà la via da seguire.

Allora oggi risolveremo assieme questo problema: la tua scuola organizza una corsa e, a tutti i concorrenti, vengono distribuiti i pettorali con i numeri a partire da 1, che viene consegnato al tuo compagno di banco Matteo. Ti accorgi che la somma di tutti i numeri minori del tuo è uguale alla somma di tutti i numeri maggiori del tuo. Quanti sono i concorrenti in tutto?

Io quando devo risolvere un problema, faccio sempre un esempio, per vedere se ho capito bene il testo, oppure se occorre sistemare meglio qualcosa.

Per esempio io posso avere il pettorale numero 10. Allora succede che i pettorali dall'1 al 9, sommati, danno lo stesso punteggio dei pettorali dall'11 fino… fino a un certo valore che non so, da calcolare.

La domanda è chiara: quanti sono i concorrenti? Cioè devo trovare il numero dell'ultimo concorrente.

Ho provato a seguire dei giovani studenti alle prese con questo problema, e tutti partono con quello che viene suggerito dalla domanda, cioè se noi siamo in 10, oppure 15, oppure 20, cosa succede? È un po' complicato rispondere, perché si deve decidere quale sarà il mio numero, in modo che i minori di me, sommati, diano lo stesso valore dei maggiori di me, sommati.

Invece a me è venuta voglia di partire considerando il mio numero, e partirò dai casi più semplici (e questo è un trucco che può andare bene sempre!).

Se io ho il numero 1, cosa succede? Be', questo è strano: prima di me non c’è nessuno (totale 0) e quindi se sono l’unico concorrente, anche dopo di me non c’è nessuno (totale 0). Ma nel testo si spiega che il numero 1 è Matteo, quindi proseguiamo.

Se io ho il numero 2, la somma dei minori di me vale 1, e quindi anche se dopo di me ci fosse il solo 3, non andrebbe bene.

Se io ho il numero 3, la somma dei minori di me vale 1+2=3, e quindi anche se dopo di me ci fosse il solo 4, non andrebbe bene.

Se io ho il numero 4, la somma dei minori di me vale 1+2+3=6, e quindi dopo di me o ci sarebbe il solo 5 (troppo basso), oppure altrimenti il totale sarebbe troppo alto.

Se io ho il numero 5, la somma dei minori di me vale 1+2+3+4=10, e quindi dopo di me o ci sarebbe il solo 6 (troppo basso), oppure altrimenti il totale sarebbe troppo alto.

Se io ho il numero 6, la somma dei minori di me vale 1+2+3+4+5=15, e scopro che se dopo di me ci sono 7 e 8, la somma fa effettivamente 15.

Quindi la situazione è proprio questa appena trovata adesso: siamo in tutto 8, e io ho il numero 6, e così 1+2+3+4+5=7+8=15.

Non so se ci sono altre soluzioni, ma il problema era destinato alle scuole medie, dove se non richiesto esplicitamente, di solito c'è una soluzione sola.

Morale: non abbiamo pensato al numero di concorrenti, ma al numero del mio pettorale, e così abbiamo trovato la soluzione abbastanza facilmente: basta cambiare il valore variabile, e il problema potrebbe essere più agevole da risolvere.

Naturalmente gli studenti delle categorie superiori potrebbero risolverlo in altra maniera, utilizzando i numeri triangolari, e a loro lasciamo la sfida di trovare se ci sono altre soluzioni o dimostrare che non ce ne sono altre.

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