I due più difficili

Le statistiche nazionali relative all'edizione 2016 dei Giochi d'Autunno, dicono che la media di esercizi risolti correttamente tra tutti i 162.450 concorrenti è 2,14 esercizi sugli 8 proposti. Voglio allora esaminare, per ogni categoria, i due problemi che hanno incontrato maggiori difficoltà nella loro soluzione, estraendo i dati da un campione casuale e significativo.

Per ogni categoria riporto, in valore assoluto e in percentuale, le frequenze di soluzioni esatte distinte esercizio per esercizio. 

Categoria C1 (prima e seconda secondaria I grado)

Ampiezza del campione: 6477 concorrenti

Il problemi che sono risultati "più difficili" sono il numero 7 risolto correttamente da 225 concorrenti (3,5%) e il numero 3 risolto da 455 concorrenti (7,0%). Per ognuno riporto il testo e la sua soluzione.

 

7. Codici segreti

TATA è il codice che nasconde un numero naturale; OTITE è il codice che nasconde il suo doppio. (Tenete presente che a una cifra corrisponde sempre la stessa lettera e che a due cifre diverse corrispondono lettere diverse; tenete anche presente che nessun numero comincia con 0).
Qual è, al minimo, il valore numerico di OTITE?

SOLUZIONE COMMENTATA

Conviene scrivere la moltiplicazione per 2 (il doppio) come somma di due numeri uguali e incolonnare opportunamente:

  T A T A +
  T A T A =
O T I T E  

Alla lettera O  si può associare solo la cifra 1 (il riporto dalla somma di due cifre uguali che devono allora valere almeno 5). Osservando la cifra delle decine (e delle migliaia) dei due addendi è uguale alla cifra delle decine (delle migliaia) della somma si deduce che tale circostanza si verifica solo per la cifra 9 e se c'è il riporto dalla colonna delle unità (delle centinaia). 

  9 A 9 A +
  9 A 9 A =
1 9 I 9 E  

Alla lettera E deve corrispondere una cifra pari mentre alla lettera I deve corrispondere una cifra dispari, diversa da 1.

Alla lettera A si possono assegnare le cifre 6, 7, o 8 a cui corrispondono rispettivamente:

  9 6 9 6 +
  9 6 9 6 =
1 9 3 9 2  

 

  9 7 9 7 +
  9 7 9 7 =
1 9 5 9 4  

 

  9 8 9 8 +
  9 8 9 8 =
1 9 7 9 6  


Delle tre possibili soluzioni era richiesta solo quella avente il valore minimo: 19392.

 

7. Quadrati per tutti i gusti

Quanti quadrati vedete nella griglia di 4×4 caselle quadrate della figura?

SOLUZIONE COMMENTATA

È problema è un classico della matematica ricreativa e si presta ad una simpatica generalizzazione.

Quanti quadrati del tipo 1×1 si vedono? 16

Quanti quadrati del tipo 2×2 si vedono? 9

Quanti quadrati del tipo 3×3 si vedono? 4

Quanti quadrati del tipo 4×4 si vedono? 1

Complessivamente di vedono 30 quadrati.

Osservando i numeri in grassetto si scopre la generalizzazione del problema.

Nella prima riga si legge 1×1 e nella quarta riga si legge: 1, nella seconda riga 2×2 e nella terza 4, nella terza riga 3×3 e nella seconda 9, infine nella quarta riga si legge 4×4 e nella prima 16.

In una griglia 4×4 il numero dei quadrati che si vedono è la somma dei primi quattro numeri quadrati: 1 + 4 + 9 + 16 = 30.

Se la griglia fosse di 5×5 allora si vedrebbero: 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55 quadrati, la somma dei primi cinque numeri quadrati.

Comments   

0 #1 cristina.chiantore 2017-07-10 08:12
Scusate ma io vedo solo i due quesiti per la categoria C1...
E' un problema solo mio?
grazie
Cristina

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