I cinque quadrati

I cinque quadrati

Alle recenti gare di Giochi Matematici tenute alla Bocconi di Milano, è stato proposto il seguente problema (era il numero 11, per i concorrenti dalla terza media in su).

Cinque numeri interi positivi consecutivi sono tali che la somma dei quadrati dei due più grandi è uguale alla somma dei quadrati degli altri tre. Quanto vale il più grande dei cinque numeri?

Uno studente liceale può risolvere con le equazioni: una volta chiamato uno dei valori x (io ho chiamato x il numero centrale), si definiscono i valori degli altri numeri incogniti (che a questo punto sono x-2, x-1, x+1, x+2), si eseguono i quadrati dei cinque numeri, si eguaglia la somma dei primi tre alla somma degli ultimi due, e si trova il valore dell'incognita x. Siccome viene chiesto il valore del più grande, si scrive nel foglio risposte il valore di x+2.

Ecco, questo è il modo di risolvere di un liceale che conosce il meccanismo di soluzione mediante equazione, applica la formula, e non ha bisogno di ragionamenti, e questo è un vero peccato, perché così si perde il gusto di trovare la soluzione con idee sempre nuove.

Chi non conosce le equazioni potrebbe invece partire dall'osservazione che i cinque numeri non devono essere "troppo grandi". Infatti se assomigliano a 100, e sono ad esempio 100, 101, 102, 103, 104, la somma dei quadrati dei primi tre vale un po' più di 30.000, mentre la somma dei quadrati degli ultimi due vale un po' più di 20.000; peggio ancora se i numeri sono vicini a 1000. I "grandi" direbbero che al crescere dei numeri, il limite fra le due somme dei quadrati vale 3/2. Quindi sappiamo da subito che i valori sono abbastanza minori di 100. A questo punto si può provare a costruire una tabella, scrivendo riga per riga i quadrati di cinque numeri consecutivi: iniziamo con 1, 4, 9, 16, 25 e ci accorgiamo che le somme dei primi tre e degli ultimi due valgono 14 e 41: non ci siamo. Passiamo a 4, 9, 16, 25, 36, con i totali 29 e 61. Adesso tocca a 9, 16, 25, 36, 49, con totali 50 e 85. Proseguiamo e ad un certo punto esamineremo i quadrati a partire da 9, cioè 81, 100, 121, 144, 169, con totali 302 e 313 rispettivamente… siamo abbastanza vicini, ma non coincidono ancora. Finalmente ci accorgiamo che se partiamo da 10 abbiamo 100, 121, 144, 169, 196, con totali 365 e 365: sono i valori cercati e quindi la risposta è 14.

Chi invece avesse voglia di ragionare un po' prima di fare i vari tentativi, può esaminare la cifra finale dei quadrati di 1, 2, 3, 4…, cioè 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1, 0, e poi di nuovo le stesse 10 cifre, ripetute all'infinito. Se ne prendiamo cinque consecutive, l'unico caso nel quale si avrà la stessa cifra finale sia sommando le prime tre sia sommando le ultime due, è il caso 0+1+4=5 e 9+6=15. Questi valori sono le cifre finali dei quadrati di 0, 1, 2, 3, 4, quindi gli unici candidati per la soluzione sono 10, 11, 12, 13, 14, oppure 20, 21, 22, 23, 24, oppure tutte le cinquine con le medesime cifre finali. Una volta provata la prima combinazione e visto che va bene, ci si ferma nella ricerca.

Ma forse si può risolvere pure geometricamente, disegnando il secondo e il terzo quadrato, e provando a sistemare intorno ad essi degli strati in modo da ottenere il quarto e il quinto quadrato, e questa area aggiunta è l’area del primo quadrato. Lascio lo spunto a chi volesse continuare il ragionamento per conto suo.

Gli studenti delle superiori possono aggiungere che se non ci fosse la clausola di "numeri positivi", allora anche -2, -1, 0, 1, 2 sarebbe una cinquina che rispetta le regole del testo.

Insomma, ognuno può risolvere a seconda delle proprie capacità e conoscenze scolastiche. Che bello!

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